Calcule as integrais iteradas.

∫ 0 2 ∫ y 2 y x y   d x   d y

Passo 1

Vamos lá pessoal! Tudo certo? Temos uma questão de integral dupla, que é uma integral “dentro” da outra. Não tenha medo meu caro amigo, acompanhe meu raciocínio e verás que não é complicado.

∫ 0 a ∫ 0 b f x , y   d x   d y

Isso é a mesma coisa que:

∫ 0 a ∫ 0 b f x , y d x d y

Ou seja, vamos fazer a integral de “dentro” e o resultado integraremos novamente em relação à outra variável.

Passo 2

Vamos escrever nossa integral de forma a ficar mais simples:

∫ 0 2 ∫ y 2 y x y   d x   d y =   ∫ 0 2 ∫ y 2 y x y   d x d y

Esse passo não é necessário, e eu só fiz para que você possa visualizar melhor. Realizando a integral temos:

∫ 0 2 ∫ y 2 y x y   d x d y = ∫ 0 2 x 2 2 y y 2 y   d y

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 2 x 2 2 y y 2 y   d y = ∫ 0 2 ( 2 y ) 2 2 y - y 2 2 y   d y

Simplificando:

∫ 0 2 ( 2 y ) 2 2 y - y 2 2 y   d y = ∫ 0 2 3 y 3 2   d y

Por último, só precisamos aplicar os limites de integração da segunda integral.

Passo 3

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

∫ 0 2 3 y 3 2   d y = 3 y 4 8 0 2 = 3   2 4 8 - 3 ∙ 0 = 6

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Resposta

6

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