Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 63
Use séries para avaliar o limite.
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos começar a resolver essa questão!?
Bom, primeiro vamos entender o enunciado da questão, certo? Precisamos avaliar o limite utilizando os conceitos de serie.
Como podemos resolver? Primeiro vamos olhar para a função apresentada e verificar se conseguimos escrever em série. Repare no , esse termo pode ser expressado com uma seria de potência, concorda?
Veja a tabela 1 a seguir, e foque na expressão para o
Sabendo disso, vamos reescrever o limite colocando a série do e resolver o limite.
Vamos lá!
Passo 2
Agora, vamos relembrar nosso limite
Como vimos na tabela 1, podemos reescrever o termo como serie
A seguir esta a representação de uma pequena expansão, até . Isso, apenas para compreendermos e visualizarmos que todos os termos da série irão depender de . Os três pontos no final indicam que a serie contina sua expansão até o infinito.
Sendo assim, podemos reescrever o limite como:
Repare que os dois primeiros termos da serie se cancelam, restando:
Passo 3
Agora vamos avaliar o limite.
Repare que podemos colocar o termo comum que aparece no numerador e denominador em evidência, ficando:
Simplificando temos:
Repare que esse limite com tendendo a zero, todos os termos que tem serão zero. Pois irá ficar zero dividido por um número fatorial. Logo ficamos com
Assim nossa resposta é: