Determine as derivadas parciais de primeira ordem.

F(α, β) = α² * ln(α² + β²)

Passo 1

Oie, vou te ajudar a resolver essa atividade hoje meu amigo.

Bom, o problema pede para achar as derivadas parciais de primeira ordem da função dada. Para isso, basta tomar as derivadas usando as regras de derivação!

F α ,   β = α 2 ln ⁡ ( α 2 + β 2 )

A gente tem essa função, sendo assim iremos derivar parcialmente em relação a β e a α . Para derivarmos parcialmente deveremos derivar em relação a variável que a gente quer, e deveremos considerar as outras variáveis como constantes.

Veja que aqui teremos que utilizar a regra da cadeia, pois estamos derivando uma função composta. E veja que deveremos também utilizar a regra do produto ao derivar em relação a α :

f ⋅ g ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

Passo 2

Neste caso, temos uma função de α e β . Derivando com relação a α pela regra do produto:

F α ,   β = α 2 ln ⁡ ( α 2 + β 2 )

F α = α 2 ' ⋅ ln ⁡ α 2 + β 2 + ln ⁡ α 2 + β 2 ' ⋅ α 2

Para derivar ln ⁡ α 2 + β 2 é necessário a regra da cadeia:

∂ F ∂ α = 2 α ln ⁡ ( α 2 + β 2 ) + α 2 α 2 + β 2 ⋅ ∂ ∂ α ( α 2 + β 2 )

Assim, após simplificarmos:

∂ F ∂ α = 2 α ln ⁡ ( α 2 + β 2 ) + 2 α 3 α 2 + β 2

Passo 3

Para derivar com relação a β , note que ele só aparece dentro do logaritmo, por isso iremos utilizar apenas a regra da cadeia:

F α ,   β = α 2 ln ⁡ ( α 2 + β 2 )

F β = α 2 ⋅ ln ⁡ g β ' ⋅ α 2 + β 2 '

Derivando, temos:

∂ F ∂ β = α 2 α 2 + β 2 ⋅ ∂ ∂ β ( α 2 + β 2 )

Assim,

∂ F ∂ β = 2 α 2 β α 2 + β 2

Resposta

∂ F ∂ α = 2 α ln ⁡ ( α 2 + β 2 ) + 2 α 3 α 2 + β 2

∂ F ∂ β = 2 α 2 β α 2 + β 2

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