Enunciado

Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercício 24) para estimar o valor da integral. Divida B em oito subcaixas de igual tamanho.

∭ B sen ⁡ ( x y 2 z 3 ) d V

onde B = x , y , z |   0 ≤ x ≤ 4 ,   0 ≤ y ≤ 2 ,   0 ≤ z ≤ 1

Passo 1

Para dividir B em oito caixas de igual tamanho, basta dividirmos cada intervalo no meio e pegar os pontos médios destes intervlos, se dividirmos a variação 0 ≤ x ≤ 4 em duas, ficamos com 0 ≤ x ≤ 2 e 2 ≤ x ≤ 4 e o ponto médio desses intervalos são 1 e 3 , para z temos 0 ≤ z ≤ 1 / 2 e 1 / 2 ≤ z ≤ 1 com pontos médios 1 / 4 e 3 / 4 , para y vamos dividir em 0 ≤ y ≤ 1 e 1 ≤ y ≤ 2 os pontos médio são 1 / 2 e 3 / 2 e os pontos médios das oito caixas, é a combinação desses dois valores em todas as variáveis, então ficamos com os pontos

P 1 = 1 , 1 2 , 1 4             P 5 = 1 , 3 2 , 3 4

P 2 = 1 , 1 2 , 3 4             P 6 = 3 , 1 2 , 3 4

P 3 = 1 , 3 2 , 1 4             P 7 = 3 , 3 2 , 1 4

P 4 = 3 , 1 2 , 1 4             P 8 = 3 , 3 2 , 3 4

Passo 2

Para estimar a integral, pegamos o volume de cada caixa que é V = 2 × 1 × 0,5 = 1 pelo valor da função no ponto médio da caixa, então temos

∭ B sen ⁡ ( x y 2 z 3 ) d V ≈ 1 f P 1 + f P 2 + f P 3 + f P 4 + f P 5 + f P 6 + f P 7 + f P 8

= sen ⁡ 1 1 2 2 1 4 3 + sen ⁡ 1 1 2 2 3 4 3 + sen ⁡ 1 3 2 2 1 4 3 + sen ⁡ 3 1 2 2 1 4 3 + sen ⁡ 1 3 2 2 3 4 3 + sen ⁡ 3 1 2 2 3 4 3 + sen ⁡ 3 3 2 2 1 4 3 + sen ⁡ 3 3 2 2 3 4 3

= sen ⁡ 1 2 8 + sen ⁡ 3 3 2 8 + sen ⁡ 3 2 2 8 + sen ⁡ 3 2 8 + sen ⁡ 3 5 2 8 + sen ⁡ 3 4 2 8 + sen ⁡ 3 3 2 8 + sen ⁡ 3 6 2 8

= 1,675

Resposta

∭ B sen ⁡ ( x y 2 z 3 ) d V ≈ 1,675

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