Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.7 - Ex. 24
Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercício 24) para estimar o valor da integral. Divida em oito subcaixas de igual tamanho.
onde
Passo 1
E aí, meu povo! De boas?
Nossa questãozinha pede pra gente usar a regra do ponto médio para integrais triplas para que a gente ache o valor de:
Onde a região de integração é:
A regra do ponto médio é dada pela relação:
Aqui para nós:
Calma! Hehe. Vamos entender o que isso significa na prática. Essa equação está dizendo que o volume de um sólido pode ser reescrito como a soma dos valores da função nos pontos médios, multiplicados pelo volume das subcaixas.
Primeiro dividimos a região de integração em subcaixas de igual tamanho. Depois, calculamos os pontos médios de cada uma dessas subcaixas. Avaliamos a função nesses pontos e calculamos os volumes de cada subcaixa. Depois aplicamos na nossa soma.
Vem entender isso!
Passo 2
Nossa região de integração é:
Para dividir em oito caixas de igual tamanho, basta dividirmos cada intervalo no meio e pegar os pontos médios destes intervalos.
Se dividirmos a variação
em duas, ficamos com
e
e o ponto médio desses intervalos são e , respectivamente.
Para temos
e
com pontos médios e , respectivamente.
Para vamos dividir em
e
os pontos médios são e , respectivamente.
Os pontos médios das oito caixas, é a combinação desses dois valores em todas as variáveis, então ficamos com os pontos
Passo 3
Para estimar a integral, pegamos o volume de cada caixa que é
Perceba que tiramos essas dimensões pelo ponto médio de cada intervalo , e .
Pelo valor da função no ponto médio da caixa, então temos
Aqui é a função em cada ponto.
Substituindo:
Realizando as multiplicações nos parênteses:
Então, nossa integral é: