Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 44
Use a série de Maclaurin para para calcular com precisão de cinco casas decimais.
Passo 1
Salve, pessoal! Firmeza?
A questão quer que a gente ache a série de Maclaurin de para calcular com 5 casas decimais de precisão.
Achar a série de Maclaurin de uma função é expressá-la como uma soma infinita de termos (série) calculados a partir de suas derivadas em um ponto, que aqui para as séries de Maclaurin é . A série de Maclaurin nada mais é que a série de Taylor com e é assim:
Para , temos as séries de Maclaurin e já temos essas séries tabeladas e prontas para algumas funções na teoria do nosso livro, inclusive com seus raios de convergência e a função é uma delas.
Então o que precisamos fazer aqui é usar a série de Maclaurin de e achar o valor de somando os termos até chegarmos em um valor que vai “bater” com o valor real de até a quinta casa decimal.
Bora resolver isso!
Passo 2
Da teoria do nosso livro (Tabela 11 da sessão 10), já temos a série de Maclaurin para :
Podemos reescrever usando algumas propriedades matemáticas. Como:, podemos escrever:
Usando também: , temos:
Agora fica bem claro que precisamos aplicar na nossa série de Maclaurin .
Dessa maneira, temos:
Vamos somar esses 4 primeiros termos e vamos ver qual valor obtemos:
Passo 3
Como calculando por , temos que:
Vemos que o valor que encontramos pela série está idêntico ao valor de até a quinta casa depois da vírgula, então podemos dizer que encontramos o valor de pela série de Maclaurin com 5 casas decimais de precisão.
(Somar os 4 primeiros termos foi um “chute”, caso não tivéssemos obtidos 5 casas decimais de precisão com 4 termos, usaríamos mais até atingir essa precisão).