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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 62

Use séries para calcular o limite.

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + x - e x

Passo 1

Faala, galera! Beleza?

Nessa questão a gente precisa calcular o limite que ela deu, e pra isso vamos usar séries!

O que vai ajudar a resolver isso é saber como são as séries das funções cos ⁡ x e e x :

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

E aí vai ser só substituir isso dentro do limite que a gente consegue calcular!

Então bora pras contas?

Passo 2

Podemos reescrever o termo cos ⁡ x como:

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

cos ⁡ x = 1 + 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 - 1 6 ! x 6 + …

E o termo e x como:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + 1 4 ! x 4 + 1 5 ! x 5 + 1 6 ! x 6 + …

Sendo assim, podemos reescrever o limite como:

lim x → 0 ⁡ 1 - ( 1 - 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 - 1 6 ! x 6 + … ) ⏞ = cos ⁡ x 1 + x - ( 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + 1 4 ! x 4 + 1 5 ! x 5 + 1 6 ! x 6 + … ) ⏟ = e x

Fica calmo que a gente vai conseguir simplificar bastante coisa ai!!

Passo 3

Primeiro, no numerador podemos cancelar 1 com - 1 , e no denominador 1 + x com - ( 1 + x ) :

= lim x → 0 ⁡ 1 2 ! x 2 - 1 4 ! x 4 - 1 6 ! x 6 - … - 1 2 ! x 2 - 1 3 ! x 3 - 1 4 ! x 4 - 1 5 ! x 5 - 1 6 ! x 6 - … =

Agora percebe que tanto no numerador quanto no denominador todos os termos tem um x 2 em comum? Até os termos que estão implícitos nos “ … ”, que são potências de x maiores que 6 .

Então vamos colocar x 2 em evidência e simplificar:

= lim x → 0 ⁡ x 2 ∙ 1 2 ! - 1 4 ! x 2 - 1 6 ! x 4 - … x 2 ∙ - 1 2 ! - 1 3 ! x - 1 4 ! x 2 - 1 5 ! x 3 - 1 6 ! x 4 - … =

= lim x → 0 ⁡ 1 2 ! - 1 4 ! x 2 - 1 6 ! x 4 - … - 1 2 ! - 1 3 ! x - 1 4 ! x 2 - 1 5 ! x 3 - 1 6 ! x 4 - … =

Por último, a gente pode falar que todos os termos que ainda têm alguma potência de x vão tender para 0 (já que x → 0 ), então:

= 1 2 ! - 0 - 0 - … - 1 2 ! - 0 - 0 - 0 - 0 - … =

Calculando os termos que sobraram, achamos o valor do limite:

= 1 2 - 1 2 = - 1

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + x - e x = - 1

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