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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 4c

Calcule o volume do conjunto dado.

  1. { (x , y , z) in R^3 | 0 <= x <= 1 , 0 <= y <= 1 , 0 <= z <= x y e^(x^2 - y^2) }

Passo 1

Vamos começar montando a integral tripla pra calcular o volume. Tá vendo que aqui não tem uma função pra integrar? Mas a gente faz normalmente, só montar os intervalos, quer ver?

V = int_0^1 int_0^1 int_0^(x y e^(x^2 - y^2)) d z d x d y

Isso aí, agora a gente joga essa função do intervalo pra dentro, quando a gente integra em z ...

V = int_0^1 int_0^1 x y e^(x^2 - y^2) d x d y

Agora ficou familiar né? Então bora resolver...

Passo 2

Integramos e aplicamos os intervalos...

(int_0^1 x e^(x^2) d x) (int_0^1 y e^(- y^2) d y)

= ([(e^(x^2))/(2)]_0^1) ([- (1)/(2 e^(y^2))]_0^1)

= ((e)/(2) - (e^0)/(2)) (- (1)/(2 e^1) + (1)/(2 e^0))

= ((e)/(2) - (1)/(2)) (- (1)/(2 e) + (1)/(2))

= ((e - 1)/(2)) ((- e^(- 1) + 1)/(2))

= (1)/(4) (e - 1) (1 - e^(- 1))

Prontinho! Esse é o volume😉

Resposta

(1)/(4) (e - 1) (1 - e^(- 1))

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Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies z = y , z = 4 - x 2 , z = 0 e y = - 4 com z ≥ 0 .
Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies z = 1 - y 2 , x + z = 2 e x = 2 para z ≥ 0 .
Determine o volume do sólido dado. Abaixo da paraboloide z = x 2 + 4 y 2 e acima do triângulo R = 0,2 × 1,4 .
63. Encontre o volume da cunha cortada do primeiro octante pelo cilindro z = 12 – 3y2e pelo plano x + y = 2.
61. Encontre o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelos planos coordenados, pelo plano x = 3 e pelo cilindro parabólico z = 4 – y2 .