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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 4a

Calcule o volume do conjunto dado.

  1. { (x , y , z) in R^3 | 0 <= x <= 1 , 0 <= y <= 1 , 0 <= z <= x + 2 y }

Passo 1

Vamos começar montando a integral tripla pra calcular o volume. Tá vendo que aqui não tem uma função pra integrar? Mas a gente faz normalmente, só montar os intervalos, quer ver?

V = int_0^1 int_0^1 int_0^(x + 2 y) d z d x d y

Isso aí, agora a gente joga essa função do intervalo pra dentro, quando a gente integra em z ...

V = int_0^1 int_0^1 x + 2 y d x d y

Agora ficou familiar né? Então bora resolver...

Passo 2

Integrando em x primeiro...

V = int_0^1 [(x^2)/(2) + 2 y x]_0^1 d y

V = int_0^1 (1)/(2) + 2 y d y

Beleza, agora a gente integra em y :

V = [(1)/(2) y + y^2]_0^1

V = (1)/(2) + 1

V = (3)/(2)

Prontinho! Volume encontrado😉

Resposta

V = (3)/(2)

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