Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 20

Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.

y ' ' + ω 2 y = cos ⁡ 2 t ,   o n d e   ω 2 ≠ 4 ; y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Vamos considerar a nossa EDO como:

y ' ' + ω 2 y = cos ⁡ 2 t

Utilizando a transformação de Laplace, podemos dizer que :

L f n t = s n L f t - s n - 1 f 0 - s n - 2 f 0 - … - f n - 1 ( 0 )  

Então:

L f n t = s n L f t - ∑ k = 0 n - 1 s n - 1 - k f k ( 0 )

Com essas considerações, vamos sair do domínio de t para o domínio de s , para encontrar equações algébricas fáceis de resolver e por fim, retornamos para o domínio de t .

Passo 2

Sendo o nosso PVI:

y ' ' + ω 2 y = cos ⁡ 2 t

Aplicando Laplace nos temos dados, teremos:

L { y ' ' } + ω 2 L { y } = L { cos ⁡ 2 t }

Então:

s 2 L y - s y 0 - y ' 0 + ω 2 L y = s s 2 + 4

Então:

s 2 + ω 2 L y = s s 2 + 4 + s

Isolando L { y } teremos:

L y = s s 2 + ω 2 ( s 2 + 4 ) + s s 2 + ω 2

Agora, devemos usar frações parciais para dividir a primeira fração, onde:

s s 2 + ω 2 ( s 2 + 4 ) = A s + B s 2 + 4 + C s + D s 2 + ω 2

Podemos dizer que :

A = 1 ω 2 - 4

C = - 1 ω 2 - 4

B = 0

D = 0

Cortando o denominador:

s = A s + B s 2 + ω 2 + C s + D s 2 + 4

Então, multiplicando temos:

s = A s 3 + C s 3 + B s 2 + D s 2 + A ω 2 s + 4 C s + B ω 2 + 4 D

Agrupando os termos com os respectivos coeficientes:

A + C = 0

B + D = 0

A ω 2 + 4 C = 1

B ω 2 + 4 D = 0

Podemos ficar com a equação:

L y = 1 ω 2 - 4 s s 2 + 4 - 1 ω 2 - 4 s s 2 + ω 2 + s s 2 + ω 2

Então:

L y = 1 ω 2 - 4 s s 2 + 4 + 1 - 1 ω 2 - 4 s s 2 + ω 2

Com isso, conseguimos chegar em uma equação. Agora, devemos retornar fazendo a transformação inversa de Laplace, mundando o domínio de s para t .

Passo 3

Agora, devemos retornar ao domínio de t fazendo uma transformação inversa de Laplace, que pode ser dada por:

cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Se a = 2 e a = ω :

y = 1 ω 2 - 4 cos ⁡ 2 t + ω 2 - 5 ω 2 - 4 cos ⁡ ω t

Resposta

y = 1 ω 2 - 4 cos ⁡ 2 t + ω 2 - 5 ω 2 - 4 cos ⁡ ω t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe um gráfico da solução. y ' ' + 4 y = δ ( t - π ) - δ ( t - 2 π ) ;y ( 0 ) = 0 ,y ' ( 0 ) = 0 .
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe um gráfico da solução. 2 y ' ' + y ' + 4 y = δ ( t - π / 6 ) s e n ( t ) ;y ( 0 ) = 0 ,y ' ( 0 ) = 0 .
Em cada um dosproblemas de 24a27, encontre a transformada de Laplace Y ( s )=£ { y } da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na
Em cada um dosproblemas de 30a35, use o resultado doProblema 29para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são números reais e n é um inteiro positivo. f t = t e a t cos ⁡ b t
Em cada um dosproblemas de 30a35, use o resultado doProblema 29para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são números reais e n é um inteiro positivo. f t = t n