Utilize um computador para traçar o gráfico da função, usando vários pontos de vista e tamanhos de janela. Comente o comportamento da função no limite. O que acontece quando x e y se tornam muito grandes? O que acontece quando ( x ,   y ) se aproxima da origem?

f x , y = x + y x 2 + y 2

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

f x , y = x + y x 2 + y 2

Queremos traçar o seu gráfico em vários pontos de vista para podermos comentar sobre o o comportamento da função nos limites:

lim x , y → ± ∞ ⁡ x + y x 2 + y 2

lim x , y → 0 ⁡ x + y x 2 + y 2

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Utilizando uma ferramenta gráfica para plotar o gráfico em algumas perspectivas e janelas, temos:

Agora vamos analisar os limites!!

Passo 3

Agora vamos analisar com o seguinte limite:

lim x , y → ± ∞ ⁡ x + y x 2 + y 2

Quando uma das variáveis → ± ∞ a função tende a zero, ou seja, f → 0 .

Isso acontece porque o grau do denominador é maior, fazendo o denominador “crescer mais rápido”.

Passo 4

Agora vamos analisar com o seguinte limite:

lim x , y → 0 ⁡ x + y x 2 + y 2

Quando a função de aproxima da origem temos que f → ± ∞ , e na origem parece que a função não tem um limite, uma vez que de diversos pontos diferentes, temos que a altura com que nos aproximamos seja diferente.

Resposta

Quando uma das variáveis → ± ∞ a função tende a zero, ou seja, f → 0 .

Quando uma das variáveis → 0 a função tende a infinito, ou seja, f → ± ∞ .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível. f x , y = y - 2 x 2
Descrever as superfícies de nível da função. f x , y , z = x + 3 y + 5 z
Se V x , y é o potencial elétrico em um ponto x , y no plano x y , então as curvas de nível de V são chamadas curvas equipotenciais porque em todos os pontos de tal curva o potencial elétrico é o mesm
Uma fina placa de metal, localizada no plano x y , tem a temperatura T x , y no ponto x , y . Desenhe algumas curvas de nível (isotermas) se a função de temperatura for dada por T x , y = 100 1 + x 2
Desenhe um mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível. f x , y = y - arctan ⁡ x