Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 95
O elipsoide intercepta o plano em uma elipse. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à elipse no ponto .
Passo 1
Fala, meu amigo. Vamos resolver essa atividade hoje, eu e você, juntos.
A gente tem a elipsoide:
E ela irá interceptar o plano:
E disso teremos uma elipse.
Queremos então encontrar a equação paramétrica da reta tangente a essa elipse, no ponto:
A equação paramétrica para a reta tangente que passa por um ponto na direção do vetor é dada por:
Onde é o nosso parâmetro.
Precisamos encontrar a equação da elipse gerada pela interseção entre essas curvas, para isso basta que substituirmos o na equação da elipse.
Depois disso, iremos encontrar a equação da reta tangente a essa elipse, que é dada por:
em que é a inclinação da reta tangente, e é dada por:
Isso é, a derivada parcial em relação a da equação da elipse. pode ser encontrado substituindo o ponto na equação da reta tangente.
Passo 2
Temos então que encontrar a equação da elipse, iremos fazer isso da seguinte forma:
Igualando essas figuras:
Sabemos que a reta tangente a elipsoide no ponto deve ser elemento do plano . Então da equação da elipse, nós iremos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto via a derivação parcial:
Agora podemos observar a equação da reta tangente a elipse, dada por:
Já tem seu , vamos agora atras do seu :
Assim, a reta tangente a elipse é então:
Precisamos agora encontrar a forma paramétrica.
Passo 3
Lembre-se que a forma paramétrica para a linha que passa pelo ponto na direção do vetor no espaço tridimensional é
e é um parâmetro real. É dado que e (porque sabemos que a linha está no plano , e de concluímos:
Portanto, concluímos que , então, sem perda de generalidade, podemos tomar . Agora, temos
o que implica que a equação paramétrica da linha tangente é: