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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.4 - Ex. 2f

Verifique que I m f sub D_g e determine a composta h (x) = g (f (x)) .

g (x) = (x + 1)/(x - 1) e f (x) = (x)/(x + 1)

Passo 1

Temos que verificar que a imagem de F ( x ) é do mesmo conjunto do Dominio de g ( x )

Priemeiro vamos verificar F

f (x) = (x)/(x + 1)

Se chamarmos f (x) = y

y = (x)/(x + 1)

y (x + 1) = x

x (y - 1) = - y

x = - (y)/(y - 1)

Então a imagem de f (x) existe em todos os Reais, exceto onde

F (x) = 1

Assim a imagem de f é:

I m_f = (- oo , 1) uuu (1 , + oo)

Vamos ver o dominio de g

g (x) = (x + 1)/(x - 1)

Para essa função não explodir para o infinito nosso x tem que er diferente de 1

x != 1

Assim o domínio de g é

D_g = (- oo , 1) uuu (1 , + oo)

Então temos que:

I m f sub D_g

Passo 2

Para fazer a composição vemos a onde está nossa variavel ( x ) e vamos substituir por nossa outra função. Neste caso a f ( x ) .Então, a composta é dada por:

h (x) = g (f (x)) = (f (x) + 1)/(f (x) - 1) = ((x)/(x + 1) + 1)/((x)/(x + 1) - 1)

= ((x)/(x + 1) + (x + 1)/(x + 1))/((x)/(x + 1) - (x + 1)/(x + 1))

= ((x + x + 1)/(x + 1))/((x - (x + 1))/(x + 1))

= ((2 x + 1)/(x + 1))/((- 1)/(x + 1))

h (x) = (2 x + 1)/(- 1) = - 2 x - 1

h (x) = - 2 x - 1

Terminamos por aqui, não há truques para fazer composições, é só plotar os valores dentro da outra função e ver uma forma mais limpa de organizar sua função. Te vejo no próximo exercício ; )

Resposta

h (x) = - 2 x - 1

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