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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 6

Verifique que para todo natural n >= 1 e todo real s > 0 .

int t^n e^(- s t) d t = - (1)/(s) t^n e^(- s t) + (n)/(s) int t^(n - 1) e^(- s t) d t

Passo 1

Para esse caso essas duas funções, e^(- s t) e t^n vamos usar a integração por partes da seguinte maneira:

int u d v = u v - int v d u

Assim, vamos usar:

u = t^n -> d u = n t^(n - 1) d t e v = - (1)/(s) e^(- s t) -> d v = e^(- s t) d t

Substituindo:

int t^n e^(- s t) d t = - (1)/(s) t^n e^(- s t) - int (n t^(n - 1)) (- (e^(- s t))/(s)) d t

Passo 2

int t^n e^(- s t) d t = - (1)/(s) t^n e^(- s t) - int (n t^(n - 1)) (- (e^(- s t))/(s)) d t

Vamos agora finalizar colocando as variáveis para fora:

int t^n e^(- s t) d t = - (1)/(s) t^n e^(- s t) + (n)/(s) int t^(n - 1) e^(- s t) d t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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