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Polinômio de Taylor

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Teoria

Fala aí, seja bem vindo ao Responde Aí! Bora conversar um pouco sobre Polinômio de Taylor?!

Polinômio de Taylor Centrado em Zero

O polinômio de Taylor é um método numérico, isso é uma forma de aproximarmos uma função qualquer por um polinômio ao redor de um certo ponto. Imagine que temos uma função:

Se fizermos , teremos:

Mas quanto é ?! Ele não tem valor exato, então como resolver esse problema?

Para isso a gente vai usar o polinômio de Taylor, também conhecido como a série de Taylor!

📢 Clique para ver mais:

Para aproximar escolhemos um ponto próximo tal que esteja próximo de . Nesse exemplo vamos escolher , pois:

Repara que esse ponto escolhido tem duas coisas muito importantes, ele esta próximo do valor que queremos aproximar e ele também é um valor conhecido!

Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo:

Polinômio de Taylor de Ordem 1

A aproximação por polinômio de Taylor para ordem 1 será:

Então, calculamos:

Substituindo:

Se você pegar sua calculadora, ela indicará . Então nossa aproximação ficou legal, mas dá para melhorar. Bora conhecer o polinômio de Taylor de grau .

Polinômio de Taylor de Ordem 2

A fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 é:

Calculando a segunda derivada:

Substituindo:

Se a gente comparar com o resultado analítico vemos que o resultado do polinômio de grau é ainda mais próximo do grau . A medida que aumentamos o grau menor vai ser o erro!

Polinômio de Taylor Não Centrado em Zero

Mas, e se o ponto não for zero? E se for, por exemplo . Nesse caso usamos a seguinte fórmula geral:

Essa fórmula acima vale para o ponto , mas se você quiser outro ponto é só substituir! Agora vamos praticar com exercícios?

Polinômio de Taylor Não Centrado em Zero

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Determine o polinômio de Taylor de grau 1 da função f x = 4 sen ⁡ x em torno do ponto x = 0

Passo 1

A primeira coisa a fazer é achar a derivada de ordem 1 dessa função:

f ' x = 4 cos ⁡ x

Agora temos que achar essa derivada e a função no ponto x = 0 :

f 0 = 4 sen ⁡ 0 = 0

f ' 0 = 4 cos ⁡ 0 = 4

Passo 2

Temos agora que achar cada parcela do polinômio:

f 0 = 0

f ' 0 x 1 1 ! = 4 x 1 = 4 x

Passo 3

O polinômio vai ficar:

P 1 x = 0 + 4 x = 4 x

E pronto temos o polinômio de Taylor de grau 1 . Quanto maior o grau, mais preciso ele vai ser. Normalmente o de grau 1 não é muito preciso, então se ligue!

Resposta

P 1 x = 4 x

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Determine o polinômio de Taylor de grau 2 da função f x = sen ⁡ x 2 no ponto x = 0 .

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem 2 da função f x :

f ' x = cos ⁡ x 2 . 2 x = 2 x cos ⁡ x 2

f ' ' x = 2 cos ⁡ x 2 + 2 x - sen ⁡ x 2 . 2 x = 2 cos ⁡ x 2 - 4 x 2 sen ⁡ x 2

Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:

f 0 = sen ⁡ 0 2 = 0

f ' 0 = 2.0 . cos ⁡ 0 2 = 0

f ' ' 0 = 2 cos ⁡ 0 2 - 4.0 2 . sen ⁡ 0 2 = 2

Passo 2

Agora temos que achar cada termo da função:

f 0 = 0

f ' 0 x 1 1 ! = 0

f ' ' 0 x 2 2 ! = 2 x 2 2 = x 2

Passo 3

O polinômio vai ficar:

P 2 x = 0 + 0 + x 2

P 2 x = x 2

Resposta

P 2 x = x 2

Exercício Resolvido #3

Hamilton Luiz Guidorizzi, Cálculo Volume 1, 5ª ed. Rio de Janeiro: 2008, pp. 469-1.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta do x 0 dado.

  f x = x , x 0 = 1

Passo 1

Primeiro a gente calcula tudo que a gente vai precisar:

f ' x = 1 2 x ⟹ f ' 1 = 1 2

Pouca coisa, né?

Passo 2

Agora a gente substitui na fórmula do polinômio de Taylor:

P 1 x = f 1 + f ' 1 x - 1 = 1 + 1 2 ( x - 1 )

Resposta

P 1 x = 1 + 1 2 ( x - 1 )

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Determine o polinômio de Taylor de grau 3 da função f x = cos ⁡ x 2 no ponto x = π 2

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem 3 da função f x :

f ' x = - sen ⁡ x 2 ⋅ 2 x = - 2 x sen ⁡ x 2

f ' ' x = - 2 sen ⁡ x 2 - 2 x cos ⁡ x 2 ⋅ 2 x = - 2 sen ⁡ x 2 - 4 x 2 cos ⁡ x 2

f ' ' ' x = - 2 cos ⁡ x 2 ⋅ 2 x - 4 ⋅ 2 x cos ⁡ x 2 - 4 x 2 - sen ⁡ x 2 ⋅ 2 x = - 4 x cos ⁡ x 2 - 8 x cos ⁡ x 2 + 8 x 3 sen ⁡ x 2

f ' ' ' x = - 12 x cos ⁡ x 2 + 8 x 3 sen ⁡ x 2

Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:

f π 2 = cos ⁡ π 2 2 = cos ⁡ π 2 = 0

f ' π 2 = - 2 ⋅ π 2 ⋅ sen ⁡ π 2 2 ⏟ sen ⁡ π 2 = 1 = - 2 π 2 = - 2 π

f ' ' π 2 = - 2 sen ⁡ π 2 2 ⏟ sen ⁡ π 2 = 1 - 4 ⋅ π 2 2 ⋅ cos ⁡ π 2 2 ⏟ cos ⁡ π 2 = 0 = - 2

f ' ' ' π 2 = - 12 π 2 cos ⁡ π 2 2 ⏟ cos ⁡ π 2 = 0 + 8 ⋅ π 2 3 sen ⁡ π 2 2 ⏟ sen ⁡ π 2 = 1 = 2 3 π 2 3 = 2 π 3 2

Passo 2

Agora temos que achar cada termo da função:

f π 2 = 0

f ' π 2 x - π 2 1 1 ! = - 2 π x - π 2

f ' ' π 2 x - π 2 2 2 ! = - 2 2 ! x - π 2 2 = - x - π 2 2

f ' ' ' π 2 x - π 2 3 3 ! = 2 π 3 2 6 x - π 2 3

Passo 3

O polinômio vai ficar:

P 3 π 2 = 0 - 2 π x - π 2 - x - π 2 2 + 2 π 3 2 6 x - π 2 3

Resposta

P 3 π 2 = - 2 π x - π 2 - x - π 2 2 + 2 π 3 2 6 x - π 2 3

Exercícios de Livros Relacionados

D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0