Sequências Numéricas

a) Aqui, primeiro vamos achar a fórmula do termo geral. A gente percebe que:

Isso nos leva a pensar que:

Dessa forma, temos que:

b) Aqui é mais imediato né? Ele já nos deu a fórmula do termo geral, então é só substituir:

c) Essa sequência é definida por recorrência, então não tem jeito temos que fazer um por um:

d) De novo precisamos identificar o termo geral.

O que a gente percebe? Primeiro que o sinal de negativo vai invertendo né? Vou te contar como escrever isso:

Isso se chama alternador. Ele vai invertendo o sinal do termo!

Beleza, agora temos que identificar algum padrão nos números mesmo. Vou reescrever essa sequência aqui:

Tá vendo o padrão? É sempre a posição na sequência ao quadrado, ou seja:

Perfeito agora só substituir e achar:

Vamos partir do que o problema nos fornece,

A partir dessa condição, podemos escrever a lei de formação de desta forma,

Note que,

O que resultaria em:

Bom, agora que a gente já achou uma relação entre as duas leis de formação, a gente pode escolher uma lei de formação para , que depois achamos uma para .

Vamos pensar na lei de formação simples! Digamos então que temos,

Nessa situação,

E como ficaria ?

Mas aí nós temos que ver que tende ao infinito negativo! O que realmente acontece nesse caso, quando tende ao infinito. Então:

O que nos garantiria:

Oi, galerinha! Primeiro vamos ver como pode ficar a cara desse .

O enunciado nos pede duas coisas principais: que seja irracional e . Ou seja, temos que

Deste modo, podemos estruturar o nosso da seguinte forma:

Onde é um termo que contém a irracional e vai para zero quando aplicamos o limite.

Então ele quer uma sequência que vá para , e não seja . Para a gente fazer com para zero, a minha sugestão inicial era fazer:

Pois aplicando o limite, temos que

Mas ainda não temos a parte irracional. Então, aqui vai entrar a marotagem, pensa em um número irracional, temos zilhões, por exemplo, , ou tanto faz, vamos trocar aquele por esse número irracional:

Vamos continuar tendo indo para , só que dessa vez ele é irracional por ser uma divisão não exata de um irracional.

Vamos começar olhando se a proposição é verdadeira, o que temos? Que a sequência é crescente certo? Mas o que diabos isso quer dizer?

Uma sequência crescente é aquela em que os termos são assim:

Queremos ver se a sequência é crescente, ou seja,

O que o módulo faz com cada termo? Ele tira o seu sinal certo? Mas quando estamos comparando números positivos não é a mesma coisa que comparar eles negativos, por exemplo:

Enquanto, se pegarmos o módulo essa ordem vai mudar:

Então basta pegarmos uma sequência que começa negativa e depois fica positiva que o seu módulo não vai ser crescente, por exemplo,

Os primeiros termos serão:

E por aí vai, esse carinha é crescente, mas se pegarmos o seu módulo a sequência vai ser:

E podemos ver facilmente que essa sequência de módulo não é crescente.

Logo, essa proposição é falsa.

Temos que ver como fica a recíproca

Se é uma sequência crescente, então é crescente.

Aqui tem um exemplo bem mais simples, lembra aquela ideia de mudar de sinal quando passa o módulo, se pegarmos a sequência:

Vamos ter:

E essa sequência em módulo é crescente, só que fora do módulo é decrescente, logo essa recíproca também é falsa.

Sempre que ele perguntar se é verdadeiro ou falso alguma parada é bom ir olhando a lógica tentando entender a matemática, testar exemplos e depois definir, se for verdadeiro temos que mostrar porque, se for falso só dar um caso que aquela parada seja falsa é o suficiente.