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Séries Numéricas

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Teoria

Fala aí! Hoje vamos aprender de uma maneira bem introdutória sobre séries numéricas.

Esse aqui é um assunto muito importante lá pro tópico de séries e sequências. Então fica confortável aí e vem comigo!

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O que é uma série numérica?

Uma série numérica é a soma dos termos de uma sequência.

Simples assim, até a próxima!

Brincadeira! Deixa eu te dar um pouquinho mais de detalhes.

Uma sequência é uma lista ordenada de números. Como esse exemplo aqui, ó:

Quando a gente soma esses termos, a gente passa a ter uma série:

E vamos representar isso aí com aquele clássico símbolo de somatório.

Se liga, para representarmos a soma dos 4 primeiros termos daquela sequência de termo geral , vamos escrever assim:

Olha só o que cada coisinha aí quer dizer: é o termo geral da série (é o que vai descrever cada termo ); A condição inicial lá embaixo do somatório, , indica o primeiro valor a ser colocado na soma; O valor que vai em cima do somatório representa até qual queremos somar.

Como calcular uma série

A resolução de uma série numérica, na maioria das vezes, vai envolver manipulações algébricas e a análise dos termos.

Mas, antes de sairmos fazendo contas, é muito importante a gente aprender a enxergar se uma série é convergente ou divergente.

Então segura as pontas aí que prometo que já te mostro um exercício resolvido.

Ou se tiver com pressa, vê esse vídeo bem rapidinho aqui que já te explico tudo bonitinho 👇

Convergência e Divergência

Quando o valor da série vai para o infinito, diz-se que a série é divergente.

Por exemplo:

Se fizermos o limite dessa série com tendendo a infinito:

A série não tende a um número. Se ela tende a infinito, dizemos que a série diverge.

Agora, se liga nesse outro exemplo:

Vamos abrir essa soma aí, dessa forma:

Olha o que acontece se multiplicarmos os dois lados por :

Do lado direito, a gente aplica a distributiva e soma os expoentes dos denominadores:

Compara isso aí com aquele primeiro somatório! Todas as parcelas continuam iguais, com exceção do que sumiu e o que apareceu agora.

A gente pode simplificar isso aí da seguinte forma:

Agora, vamos aplicar o limite disso aí com tendendo ao infinito:

Olha só! Quer dizer que aquela série toda bonitinha lá tende a 1. Essa série converge.

Propriedades de uma série

A gente sempre vai torcer pra uma série ser convergente. Olha só por quê, pra séries convergentes, as seguintes propriedades são válidas:

Isso aí vai ser muito útil nos nossos cálculos!

Convergência e Divergência

Propriedades de uma série

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

UNICAMP - Cálculo 3 - P2 2011.1 Tozoni - 4b

Calcule a soma da série:

∑ k = 1 ∞ 5 - k + 1 ln ⁡ k 5 k + 1

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer aqui é analisar essa série. Para isso, vamos tentar dar uma arrumada para ver se conseguimos achar a soma parcial da série ( S n ) e depois fazer o limite dessa soma parcial quando n → ∞ , uma vez que o somatório vai para infinito.

O termo geral dela vai ser

a k = 5 - k + 1 ln ⁡ k 5 k + 1

Lembrando das propriedades de logaritmo, temos que

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

Então:

ln ⁡ k 5 k + 1 = ln ⁡ k 5 - ln ⁡ k + 1

Pela regra do “peteleco”:

ln ⁡ k 5 = 5 ln ⁡ k

Assim ficou:

a k = 5 - k + 1 ln ⁡ k 5 k + 1 = 5 - k + 1 5 ln ⁡ k - ln ⁡ k + 1

a k = 5 ln ⁡ k 5 k + 1 - ln ⁡ k + 1 5 k + 1

a k = ln ⁡ k 5 k - ln ⁡ k + 1 5 k + 1

Passo 2

Agora que demos uma arrumadinha no termo geral vamos tentar fazer a soma parcial.

S n = ∑ k = 1 n ln ⁡ k 5 k - ln ⁡ k + 1 5 k + 1

Abrindo isso temos

S n = ln ⁡ 1 5 1 - ln ⁡ 2 5 2 + ln ⁡ 2 5 2 - ln ⁡ 3 5 3 + ln ⁡ 3 5 3 - ln ⁡ 4 5 4 + … + ln ⁡ n 5 n - ln ⁡ n + 1 5 n + 1

Repara que está aparecendo caras iguais nessa soma, um sendo positivo e outro sendo negativo. Assim, vai sobrar só o primeiro termo e o último.

S n = ln ⁡ 1 5 1 - ln ⁡ n + 1 5 n + 1

Como ln ⁡ 1 = 0 temos

S n = - ln ⁡ n + 1 5 n + 1

Agora que achamos a soma parcial e o somatório vai até infinito, é só fazer o seu limite quando n → ∞

Passo 3

Vamos ao limite

S = lim n → ∞ ⁡ S n = lim n → ∞ ⁡ - ln ⁡ n + 1 5 n + 1 = - ∞ ∞

Como o numerador e o denominador tendem ao infinito, podemos aplicar L’Hospital:

S = lim n → ∞ ⁡ - ln ⁡ n + 1 5 n + 1 = - lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 ' 5 n + 1 ' = - lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 ln ⁡ 5 ∙ 5 n + 1

S = - lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 ln ⁡ 5 ∙ 5 n + 1 = - 1 ∞ = 0

Curiosamente a soma dos termos da série da 0 .

Sacou? O melhor a fazer é ir com calma e tentar ver algo no termo da série, abrir ela e ver se encontra algum padrão, como fizemos nesse exercício!

Resposta

S = 0

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Temos a seguinte série

∑ n = 0 ∞ a n + b n

Sabendo que a n diverge e b n diverge, o que podemos falar dessa soma

Passo 1

Então, galerinha, quando temos uma soma de séries convergente, a soma também converge. Mas aqui nós temos uma soma de séries divergentes.

Neste caso, não podemos falar absolutamente nada. Essa soma pode tanto convergir quanto divergir.

Vamos ver um exemplo de cada situação

Passo 2

Se

a n = 1 n

b n = - 1 n

A primeira série, a n , é uma série muito famosa chamada série harmônica. Vamos ver ela com mais calma daqui a alguns tópicos. Por enquanto, acredite em mim: essa série diverge.

A segunda série é - 1 vezes a série harmônica. E multiplicando qualquer número, a série continua com o mesmo comportamento.

A soma vai ser

a n + b n = 1 n - 1 n = 0

Po, somar infinitos 0 vai dar 0 ne? Então ela converge.

Passo 3

Agora, se

a n = 2 n

b n = - 1 n

De novo, as duas séries divergem. Só que a nossa soma ficará

a n + b n = 2 n - 1 n = 1 n

Opa, voltamos para a série harmônica, então ela diverge.

Pronto, vimos duas situações que a série pode ou não divergir, então nada pode dizer dessa parada.

Esse exercício serve para ficar atento a isso, as duas séries precisam convergir para usar a soma das séries.

Resposta

Não podemos afirmar nada

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Sabendo que as séries

∑ n = 0 ∞ a n

E

∑ n = 0 ∞ b n

Convergem para 3 e 4 respectivamente, determine para que valor a série abaixo converge

∑ n = 0 ∞ 6 a n - 13 b n

Passo 1

Então, galerinha, multiplicar por algum número e somar séries convergentes, vai gerar séries convergente. Então, podemos separar essa série em vários pedaços

∑ n = 0 ∞ 6 a n - 13 b n = ∑ n = 0 ∞ 6 a n - ∑ n = 0 ∞ 13 b n

Tirando a constante do somatório, ficamos com

∑ n = 0 ∞ 6 a n - 13 b n = 6 ∑ n = 0 ∞ a n - 13 ∑ n = 0 ∞ b n

Como ele deu os valores que as séries convergem

∑ n = 0 ∞ a n = 3

∑ n = 0 ∞ b n = 4

O que vamos fazer agora é multiplicar a constante e o valor para onde a série converge. Temos então que,

∑ n = 0 ∞ 6 a n - 13 b n = 6 ∑ n = 0 ∞ a n - 13 ∑ n = 0 ∞ b n = 6 ( 3 ) - 13 ( 4 ) = 18 - 52 = - 34

Resposta

Converge para - 34

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