Série Geométrica
Produzido por Carolina SabaTeoria
A série geométrica é nada mais nada menos do que a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. Sua forma geral tem essa carinha aqui:
Esse
Caso vc não se lembre em uma progressão geométrica temos uma sequência de termos, onde cada termo é o anterior, multiplicado por uma constante.
Eu vou te dar um exemplo:
Nesse caso a razão,
Você reparou que estamos sempre pegando o termo anterior e multiplicando por
Então pra você identificar uma série geométrica é simples! Basta prestar atenção nos seguintes pontos:
1) Queremos a soma da progressão geométrica
2) Essa progressão geométrica é infinita!
Mas se você ainda não está conseguindo lembrar muito bem o que é uma progressão geométrica, vem comigo! Eu vou te explicar! 😉
O que é uma Progressão Geométrica?
Como a gente já falou a progressão geométrica é uma sequência lógica de termos, onde o próximo termo é sempre igual ao anterior vezes uma constante.
A progressão geométrica do nosso exemplo é essa daqui:
O nosso primeiro termo é igual a
Se a nossa progressão geométrica fosse finita, poderíamos calcular seus termos usando a seguinte fórmula:
Onde
Mas no nosso caso
Só vamos conseguir calcular o valor da série geométrica quando ela for convergente! Nesse caso ela vai tender para um número fixo e é assim que vamos conseguir calcula-la!
Bora entender melhor o que que é isso?!
Séries Geométricas: Convergente e Divergente
Vamos pensar no comportamento de uma série geométrica qualquer:
Seu comportamento depende de quem é a razão
O que esta acontecendo no nosso exemplo é que a série esta divergindo! Uma série é divergente quando seu valor vai pro infinito!
-Mas tem outra opção? Eu estou somando números infinitamente, a resposta não é SEMPRE infinito?
Na verdade depende, sempre que
Agora, o que acontecerá nos seguintes casos:
- Caso A: $-1
- Caso B:
- Caso C:
É o que vamos ver agora!
Caso A: $1
Bem, se r for um número entre e a série irá convergir, pois estaremos somando termos cada vez menores, exemplo:
Para sabermos o resultado dessa série geométrica, usamos a seguinte fórmula:
Substituindo, temos:
Ou seja, a série geométrica do nosso exemplo, converge para .
Caso B:
Esse caso é o mais intuitivo, temos:
Ora! Essa soma sempre aumenta, logo:
Dessa forma, se a série diverge.
Caso C:
Aqui nós vamos ter:
Repare que se pararmos no o valor da série vai ser . Mas se pararmos no o valor da série vai ser . Logo, a série nunca converge, ela fica oscilando eternamente entre e !
Ficou com alguma dúvida? Se liga nesse vídeo explicando tudo o que você precisa saber sobre série geométrica 👇
Bora praticar com exercícios?
Bem, se r for um número entre
Para sabermos o resultado dessa série geométrica, usamos a seguinte fórmula:
Substituindo, temos:
Ou seja, a série geométrica do nosso exemplo, converge para
Caso B:
Esse caso é o mais intuitivo, temos:
Ora! Essa soma sempre aumenta, logo:
Dessa forma, se
Caso C:
Aqui nós vamos ter:
Repare que se pararmos no
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Bora praticar com exercícios?