Teoria

A série geométrica é nada mais nada menos do que a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. Sua forma geral tem essa carinha aqui:

Esse se chama razão.

Caso vc não se lembre em uma progressão geométrica temos uma sequência de termos, onde cada termo é o anterior, multiplicado por uma constante.

Eu vou te dar um exemplo:

Nesse caso a razão, é igual a .

Você reparou que estamos sempre pegando o termo anterior e multiplicando por ? Isso define a progressão geométrica!

Então pra você identificar uma série geométrica é simples! Basta prestar atenção nos seguintes pontos:

1) Queremos a soma da progressão geométrica

2) Essa progressão geométrica é infinita!

Mas se você ainda não está conseguindo lembrar muito bem o que é uma progressão geométrica, vem comigo! Eu vou te explicar! 😉

O que é uma Progressão Geométrica?

Como a gente já falou a progressão geométrica é uma sequência lógica de termos, onde o próximo termo é sempre igual ao anterior vezes uma constante.

A progressão geométrica do nosso exemplo é essa daqui:

O nosso primeiro termo é igual a porque qualquer número elevado a zero é igual a e depois a gente vai pegando o termo anterior e multiplicando pela razão, que aqui é igual a , não tem mistério!

Se a nossa progressão geométrica fosse finita, poderíamos calcular seus termos usando a seguinte fórmula:

Onde é o número de termos da progressão geométrica.

Mas no nosso caso , então como faremos? 😱

Só vamos conseguir calcular o valor da série geométrica quando ela for convergente! Nesse caso ela vai tender para um número fixo e é assim que vamos conseguir calcula-la!

Bora entender melhor o que que é isso?!

Séries Geométricas: Convergente e Divergente

Vamos pensar no comportamento de uma série geométrica qualquer:

Seu comportamento depende de quem é a razão , certo? Vamos imaginar um caso onde é um número maior que :

O que esta acontecendo no nosso exemplo é que a série esta divergindo! Uma série é divergente quando seu valor vai pro infinito!

-Mas tem outra opção? Eu estou somando números infinitamente, a resposta não é SEMPRE infinito?

Na verdade depende, sempre que sim, a série geométrica vai ser igual a infinito, isso é, ela vai divergir.

Agora, o que acontecerá nos seguintes casos:

  • Caso A: $-1
  • Caso B:
  • Caso C:

É o que vamos ver agora!

Caso A: $1

Bem, se r for um número entre e a série irá convergir, pois estaremos somando termos cada vez menores, exemplo:

Para sabermos o resultado dessa série geométrica, usamos a seguinte fórmula:

Substituindo, temos:

Ou seja, a série geométrica do nosso exemplo, converge para .

Caso B:

Esse caso é o mais intuitivo, temos:

Ora! Essa soma sempre aumenta, logo:

Dessa forma, se a série diverge.

Caso C:

Aqui nós vamos ter:

Repare que se pararmos no  o valor da série vai ser . Mas se pararmos no  o valor da série vai ser . Logo, a série nunca converge, ela fica oscilando eternamente entre  e !

Ficou com alguma dúvida? Se liga nesse vídeo explicando tudo o que você precisa saber sobre série geométrica 👇

Bora praticar com exercícios?

O que é uma Progressão Geométrica?

Séries Geométricas: Convergente e Divergente

Exercícios de Livros Relacionados