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Série Geométrica

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Teoria

A série geométrica é nada mais nada menos do que a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. Sua forma geral tem essa carinha aqui:

Esse se chama razão.

Caso vc não se lembre em uma progressão geométrica temos uma sequência de termos, onde cada termo é o anterior, multiplicado por uma constante.

Eu vou te dar um exemplo:

Nesse caso a razão, é igual a .

Você reparou que estamos sempre pegando o termo anterior e multiplicando por ? Isso define a progressão geométrica!

Então pra você identificar uma série geométrica é simples! Basta prestar atenção nos seguintes pontos:

1) Queremos a soma da progressão geométrica

2) Essa progressão geométrica é infinita!

Mas se você ainda não está conseguindo lembrar muito bem o que é uma progressão geométrica, vem comigo! Eu vou te explicar! 😉

O que é uma Progressão Geométrica?

Como a gente já falou a progressão geométrica é uma sequência lógica de termos, onde o próximo termo é sempre igual ao anterior vezes uma constante.

A progressão geométrica do nosso exemplo é essa daqui:

O nosso primeiro termo é igual a porque qualquer número elevado a zero é igual a e depois a gente vai pegando o termo anterior e multiplicando pela razão, que aqui é igual a , não tem mistério!

Se a nossa progressão geométrica fosse finita, poderíamos calcular seus termos usando a seguinte fórmula:

Onde é o número de termos da progressão geométrica.

Mas no nosso caso , então como faremos? 😱

Só vamos conseguir calcular o valor da série geométrica quando ela for convergente! Nesse caso ela vai tender para um número fixo e é assim que vamos conseguir calcula-la!

Bora entender melhor o que que é isso?!

Séries Geométricas: Convergente e Divergente

Vamos pensar no comportamento de uma série geométrica qualquer:

Seu comportamento depende de quem é a razão , certo? Vamos imaginar um caso onde é um número maior que :

O que esta acontecendo no nosso exemplo é que a série esta divergindo! Uma série é divergente quando seu valor vai pro infinito!

-Mas tem outra opção? Eu estou somando números infinitamente, a resposta não é SEMPRE infinito?

Na verdade depende, sempre que sim, a série geométrica vai ser igual a infinito, isso é, ela vai divergir.

Agora, o que acontecerá nos seguintes casos:

  • Caso A: $-1
  • Caso B:
  • Caso C:

É o que vamos ver agora!

Caso A: $1

Bem, se r for um número entre e a série irá convergir, pois estaremos somando termos cada vez menores, exemplo:

Para sabermos o resultado dessa série geométrica, usamos a seguinte fórmula:

Substituindo, temos:

Ou seja, a série geométrica do nosso exemplo, converge para .

Caso B:

Esse caso é o mais intuitivo, temos:

Ora! Essa soma sempre aumenta, logo:

Dessa forma, se a série diverge.

Caso C:

Aqui nós vamos ter:

Repare que se pararmos no  o valor da série vai ser . Mas se pararmos no  o valor da série vai ser . Logo, a série nunca converge, ela fica oscilando eternamente entre  e !

Ficou com alguma dúvida? Se liga nesse vídeo explicando tudo o que você precisa saber sobre série geométrica 👇

Bora praticar com exercícios?

O que é uma Progressão Geométrica?

Séries Geométricas: Convergente e Divergente

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

UNICAMP - Cálculo 3 - P3 2010.2 - 2c

( c ) A série

∑ n = 2 ∞ 1 2 n

é convergente? Caso positivo, calcule a sua soma (o limite das somas parciais).

Passo 1

Bom, de cara esta é uma série geométrica, com raio r = 1 / 2 . Olha só:

∑ n = 2 ∞ 1 2 n = ∑ n = 2 ∞ 1 2 n

Como r < 1 , ela é convergente.

Passo 2

Olha o truque agora: vamos chamar esse somatório de S :

S = ∑ n = 2 ∞ 1 2 n

Então pra escrever o bom e velho somatório começando de n = 0 , fica assim:

∑ n = 0 ∞ 1 2 n = 1 + 1 2 + ∑ n = 2 ∞ 1 2 n

∑ n = 0 ∞ 1 2 n = 1 + 1 2 + S

Ou seja:

∑ n = 2 ∞ 1 2 n = S

Passo 3

Viu? Mas para a série geométrica começando em n = 0 , temos que:

∑ n = 0 ∞ 1 2 n = 1 1 - r = 1 1 - 1 / 2 = 2

Então é só calcular ali em cima e correr pro abraço...

1 + 1 2 + S = 2

S = 1 2

Resposta

Convergente, S = 1 2

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2014.1 – 1a

Diga se a série abaixo converge ou diverge. No caso da série convergir, calcular o valor da soma.

∑ n = 0 ∞ - 3 n + 1 π n

Passo 1

Primeiramente vamos reescrever essa série de uma forma que a gente visualize melhor uma maneira de estudar sua convergência. Repara só:

∑ n = 0 ∞ - 3 n + 1 π n = ∑ n = 0 ∞ - 3 n - 3 π n = ∑ n = 0 ∞ - 3 - 3 n π n = ∑ n = 0 ∞ - 3 - 3 π n

Chamando - 3 π = r , vamos olhar pra essa série da seguinte maneira:

∑ n = 0 ∞ - 3 r n

Quem é essa série?? Exatamente ela, a série geométrica!

Passo 2

Agora que já identificamos nossa série, qual o critério para que ela convirja?

r < 1

Passo 3

r = - 3 π = 3 π

Não sabemos o valor exato de π , mas sabemos que ele é um pouco maior que 3, então

r < 1

Ótimo, a série é convergente!

Passo 4

Agora ele quer o valor da soma da série. Basta aplicar nossa formulinha né?

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

∑ n = 0 ∞ - 3 - 3 π n = - 3 1 1 - - 3 π = - 3 1 π + 3 π = - 3 π π + 3

Resposta

A   s é r i e   c o n v e r g e   e   S = - 3 π π + 3

Exercício Resolvido #3

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 654, exemplo 3

A série ∑ n = 1 ∞ 2 2 n 3 1 - n é convergente ou divergente?

Passo 1

Para podermos analisar melhor a série, vamos reescrever o termo geral a n , buscando ter apenas um expoente:

2 2 n 3 1 - n =

= 4 n 3 1 - n =

= 4 ∙ 4 n - 1 3 1 - n =

= 4 4 1 - n 3 1 - n =

= 4 3 4 1 - n = 4 4 3 n - 1

Agora, veja que a série pode ser reconhecida como uma série geométrica com r = 4 3 > 1 :

4 ∑ n = 1 ∞ 4 3 n - 1

Logo, ela diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercício Resolvido #4

USP - Cálculo 4 - P1 2010 - 3c

Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:

c )   A   s é r i e   1 - 1 3 + 1 2 - 1 3 2 + 1 2 2 - 1 3 3 + 1 2 3 - … é   d i v e r g e n t e

Passo 1

Assim de cara o que eu consigo perceber é que a gente pode separar essa série dessa forma:

1 + 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + …

- 1 3 - 1 3 2 - 1 3 3 - …

Então a boa é estudar cada parte separadamente!

Passo 2

Eita que doidera, mas calma ae, existe um padrão nesse cara, certão?

1 + 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + … = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n = ∑ n = 0 ∞ 0,5 n

Então ela é uma série geométrica, com razão < 1 , logo ela é convergente

Passo 3

Agora, vamos ver essa série aqui. Também temos um padrão!

- 1 3 - 1 3 2 - 1 3 3 - … = - ∑ n = 1 ∞ 1 3 n

Também é uma série geométrica com razão < 1 , logo ela é convergente

A subtração de duas séries convergente da uma série convergente, logo a afirmação é falsa!

Resposta

c)Falsa

Exercício Resolvido #5

UNICAMP - Cálculo 3 - P2 2011.1 Santos - 4b

( b )   Calcule a soma da série:

∑ n = 2 ∞     3   5 n + 1 + π   7 n - 2 8 n - 1

Passo 1

Nós temos que calcular a seguinte soma

S = ∑ n = 2 ∞     3   5 n + 1 + π   7 n - 2 8 n - 1

O somatório desse jeito é difícil de analisar, então vamos dar uma ajeitada nele para facilitar nosso cálculo.

Uma dica, é deixar a variável em função do menor expoente. Note que o somatório começa em n = 2 e o menor expoente nos termos do numerador e denominador é n - 2 . Então vamos deixar os outros expoentes com n - 2 também, beleza?

S = ∑ n = 2 ∞     3 .   5 n - 2 . 5 3 + π .   7 n - 2 8 n - 2 . 8

Passo 2

Seguindo, vamos combinar as duas parcelas do numerador com o denominador e, assim, criar dois somatórios. Cuidado com as constantes multiplicando cada um deles!

S = ∑ n = 2 ∞     3 .   5 n - 2 . 5 3 8 n - 2 . 8 + π .   7 n - 2 8 n - 2 . 8

S = ∑ n = 2 ∞     3 .   5 3 8 . 5 8 n - 2 + π 8 . 7 8 n - 2

S = 125 3 8   ∑ n = 2 ∞ 5 8 n - 2     + π 8   ∑ n = 2 ∞ 7 8 n - 2    

Passo 3

Agora, basta fazer a mudança no índice do somatório: se n começa em 2 , então n - 2 começa em 0 . S = 125 3 8   ∑ n - 2 = 0 ∞ 5 8 n - 2     + π 8   ∑ n - 2 = 0 ∞ 7 8 n - 2    

Trocando n - 2 por k :

S = 125 3 8   ∑ k = 0 ∞ 5 8 k     + π 8   ∑ k = 0 ∞ 7 8 k    

Repara que chegamos em duas séries geométricas. Ambas tem razão menor que 1 e, portanto, são convergentes. Temos também que a soma de uma serie geométrica é dada por,

∑ k = 0 ∞ r k = 1 1 - r  

Substituindo ficamos,

S = 125 3 8 1 1 - 5 / 8 + π 8 1 1 - 7 / 8

S = 125 3 8 8 3   + π 8 8

S = 125 3 3   + π

Resposta

S = 125 3 3   + π

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 7-14, escreva os primeiros termos de cada série para mostrar como a série começa. Então, calcule a soma da série. ∑ n = 2 ∞ 1 4 n
Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma. 3 - 4 + 16 3 - 64 9 + …
Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma. ∑ n = 1 ∞ 3 n + 1 - 2 n
Determine se a série é convergente ou divergente expressando s n como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre a sua soma. ∑ n = 2 ∞ 1 n 3 - n
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.13- - 2 + 5 2 - 25 8 + 125 32 + …