Considere que uma fábrica possui três tanques rígidos. Cada um dos três tanques rígidos contém uma única substância. O tanque contém da substância , o tanque contém da substância e o tanque contém da substância . Os três tanques sofrem processos adiabáticos de trabalho de eixo. O gráfico mostra a quantidade de energia fornecida por trabalho para as três substâncias em função da temperatura. Suponha que a curva de seja uma função da temperatura com a forma . Determine para qual faixa de temperatura o calor específico a volume constante da substância é maior que o calor específico a volume constante das substâncias e .
Passo 1
O enunciado fala sobre três tanques rígidos, cada um com uma substância. Eles recebem trabalho e a quantidade de trabalho que as substâncias recebem está mostrada no gráfico. A partir dessas informações a questão pede pra gente calcular o calor específico a volume constante das três substâncias para saber em que faixa de temperatura o de é maior que os ’s de e . Os dados e as incógnitas do problema estão na figura abaixo. O significado de todos os dados presentes na figura serão explicados.
Para conseguir calcular o calor específico a volume constante das três substâncias, precisamos lembrar da única fórmula que temos pra isso. Ela é a derivada parcial da energia interna específica em relação à temperatura , mantendo o volume específico da substância constante. Ou seja, é a taxa de variação de em relação à temperatura .
, e são os calores específicos das substância , e respectivamente. Para calcular os ’s, temos que conseguir informações sobre a variação da energia interna específica a volume constante a partir das informações dadas de trabalho recebido . Para fazer isso, utilizamos a primeira lei nessas três substâncias (, e ).
O significado de cada variável da primeira lei será explicado no próximo passo.
Passo 2
, e são as massas das substância , e respectivamente. O enunciado informa todos os valores de massa. Todos eles estão presentes na figura acima!
, e são as variações de energia interna específica das substância , e respectivamente. Elas são importantes de serem calculadas, porque vão ajudar no cálculo dos ’s.
, e são os calores trocados pelos tanques , e com o ambiente. Todos os três valem zero, porque o enunciado informa que o recebimento de trabalho é adiabático.
Com esses dados, podemos calcular as variações de energia interna específica , reorganizando a primeira lei.
Vemos que as variações de energia interna específica dependem da quantidade de trabalho absorvido . Perceber isso é muito importante, porque a quantidade de trabalho absorvido varia linearmente para e . Se a variação de depende de uma quantidade linear , também varia linearmente para e . Por isso, o calor específico de e pode ser calculado da seguinte forma.
Para a substância o processo é diferente. Para calcular , temos que substituir a fórmula de dada pelo enunciado na fórmula de . Essa fórmula também está presente na figura. Depois, substituímos o encontrado na derivada parcial de em relação a .
Vemos pelo gráfico que as temperaturas das substâncias no ponto 1 (, e ) são iguais a . As temperaturas dos pontos 2 ( e ) estão presentes na figura!
Com todos esses dados, podemos enfim calcular os calores específicos!
Passo 3
Antes de calcular os calores específicos, temos que calcular a variação de energia interna específica de cada substância.
Com esses valores, podemos encontrar os ’s de e .
Como o cálculo de é diferente, deixaremos ele pra próxima etapa.
Passo 4
Para calcular , temos que achar uma equação para em função de .
onde é a energia interna específica de no ponto . é um valor constante.
Substituindo essa equação na derivada parcial, achamos:
Isso significa que varia com a temperatura. A curva desse desse calor específico em função da temperatura é uma parábola com concavidade pra cima. Podemos comparar melhor com e traçando um gráfico desses calores específicos em função da temperatura.
Pelo gráfico nós vemos que o calor específico de fica maior que o calor específico de e para temperaturas maiores que !