Três substâncias estão contidas cada uma em um tanque rígido. Elas são aquecidas, mantendo seus volumes constantes. O gráfico fornece a variação de energia interna específica de três substâncias A , B e C em função da temperatura, conforme elas recebem calor. Calcule, para cada uma das substâncias, o calor específico a volume constante.

Passo 1

O enunciado quer saber quanto valem os c v ' s de cada substância, mas ele aparentemente só nos fornece um gráfico da energia interna específica u de cada substância em função da temperatura. Qual é a ligação entre os c v ' s e o gráfico? Será que o gráfico é a única informação que o problema nos dá? Não tem nada escondido no texto do enunciado?

A única forma que conhecemos para se calcular o c v é através da fórmula abaixo.

c v = ∂ u ∂ T v

Ou seja, ele é a derivada parcial da energia interna específica em relação à temperatura, mantendo o volume específico constante. Isso quer dizer que, para descobrir quanto vale c v , precisamos saber como u varia em função de T , enquanto v permanece constante!

O gráfico nos mostra como u varia em função de T , mas será que v é constante nesse caso?

Para saber se as substâncias estão ganhando energia, mas mantendo seus volumes específicos constantes, temos que descobrir uma informação que está escondida no texto da questão!

A questão nos diz que as três substâncias estão contidas cada uma em um tanque rígido. Isso significa que os seus volumes ( V A , V B e V C ) não variam conforme elas são aquecidas!

V A = c o n s t a n t e

V B = c o n s t a n t e

V C = c o n s t a n t e

Além disso, as massas ( m A , m B e m C ) das substâncias também não variam durante o aquecimento.

m A = c o n s t a n t e

m B = c o n s t a n t e

m C = c o n s t a n t e

O volume específico é igual ao volume dividido pela massa. Como os dois são constantes, o volume específico também é constante no aquecimento do problema!

v A = V A m A = c o n s t a n t e

v B = V B m B = c o n s t a n t e

v C = V C m C = c o n s t a n t e

Isso mostra que a informação presente no gráfico pode ser usada para calcular os c v ' s , porque v é constante durante o aumento de u !

E como podemos calcular a derivada parcial com a ajuda do gráfico?

Isso é o que veremos no próximo passo!

Passo 2

A derivada é a inclinação de uma curva em um determinado ponto.

Vemos pelo gráfico que u é uma função linear de T . Em outras palavras u é uma reta. Ou seja, para calcular os três c v ' s , temos que calcular a inclinação das três retas A , B e C ! A inclinação dessas retas é igual à variação de u Δ u dividida pela variação de T Δ T .

c v A = ∂ u A ∂ T A v       ⟹       c v A = Δ u A   Δ T A

c v B = ∂ u B ∂ T B v       ⟹       c v B = Δ u B   Δ T B

c v C = ∂ u C ∂ T C v       ⟹       c v C = Δ u C   Δ T C

Para achar essa inclinação, precisamos de apenas dois pontos da reta. O ponto 1 (ponto com o valor de T menor) e o ponto 2 (ponto com o valor de T maior).

c v A = Δ u A   Δ T A       ⟹       c v A = u A 2 - u A 1   T A 2 - T A 1

c v B = Δ u B     Δ T B       ⟹       c v B = u B 2 - u B 1   T B 2 - T B 1

c v C = Δ u C   Δ T C       ⟹       c v C = u C 2 - u C 1   T C 2 - T C 1

Todas as variáveis necessárias para calcular os c v ' s são obtidas através do gráfico.

u A 2 = 3   k J k g

u A 1 = u B 1 = u C 1 = 1   k J k g

T A 2 = 15   ° C

T A 1 = T B 1 = T C 1 = 5   ° C

u B 2 = 3   k J k g

T B 2 = 10   ° C

u C 2 = 5   k J k g

T C 2 = 10   ° C

Com esses valores nós podemos começar os cálculos.

Deixaremos essa parte para o próximo passo.

Passo 3

c v A = u A 2 - u A 1   T A 2 - T A 1       ⟹       c v A = 3 - 1   15 - 5       ⟹       c v A = 0,2   k J k g ⋅ K

c v B = u B 2 - u B 1   T B 2 - T B 1       ⟹       c v B = 3 - 1   10 - 5       ⟹       c v B = 0,4   k J k g ⋅ K

c v C = u C 2 - u C 1   T C 2 - T C 1       ⟹       c v C = 5 - 1   10 - 5       ⟹       c v C = 0,8   k J k g ⋅ K

Resposta

c v A = 0,2   k J k g ⋅ K

c v B = 0,4   k J k g ⋅ K

c v C = 0,8   k J k g ⋅ K

Exercícios Resolvidos de Calores Específicos

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