Exercícios Resolvidos de Cargas Axiais Distribuídas e Peso Próprio

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Enunciado

Uma peça foi sujeita ao carregamento distribuído abaixo. Sabendo que ela sofrerá uma carga como mostrado na figura, determine a deformação total que ela sofrerá.

Dados do problema.

S e ç ã o   q u a d r a d a   d e   l a d o   39   c m

C o m p r i m e n t o   d e   3,47 m

m ó d u l o   d e   e l a s t i c i d a d e   d e   40 M P a

Passo 1

Para podermos determinar qual a deformação total da nossa peça, precisamos saber como calcular essa deformação. Para esse tipo de caso a fórmula é dada por

δ = ∫ 0 L N x E A d x

Sabemos que o valor da área podemos determinar facilmente pelos dados do enunciado, tendo dessa forma que

A = 39   . 39 = 1521   c m 2 = 0,1521 m 2

E o modulo de elasticidade é

E = 40 M P a = 40000 K N m 2

Agora para podermos continuar as contas precisamos determinar a equação do nosso normal

Passo 2

Para determinarmos o normal precisamos dividir a nossa peça e analisar como o nosso normal é determinado pelo equilíbrio da peça. A nossa origem será definida na extremidade da barra com carregamento concentrado. E o sentido será da direita para esquerda. Analisando a nossa peça cortada teremos que

Usualmente arbitramos o nosso normal saindo da peça, e como a nossa origem está na direita, iremos colocar que a distância em que fizemos o corte é X.

Passo 3

Antes de começarmos a fazer o equilíbrio precisamos fazer uma troca, ou seja, devemos trocar a nossa carga distribuída por uma carga concentrada, mas como faremos isso?

Você tem que pegar o seguinte macete, para trocarmos uma carga distribuída por uma concentrada precisamos calcular uma área, mas que área é essa?

Precisamos visualizar ela na nossa peça

Esse triangulo representa como a carga distribuída se comporta na nossa peça, ela começa no zero e vai aumentando linearmente até o valor w ( x ) . Se calcularmos a área desse triangulo, determinamos o valor da carga concentrada que entraria no lugar dessa carga distribuída. Porém para calcularmos essa área necessitamos do valor de w ( x ) . Como ele cresce linearmente com o valor de X, podemos determinar uma equação do primeiro grau para o nosso triângulo, usando as condições de contorno do nosso problema, ou seja, os valores que temos nas extremidades.

Passo 4

Vamos calcular o valor de w ( x ) olhando a figura total teremos o seguinte triangulo

Como queremos montar uma equação da reta usaremos a equação

y = a x + b

Precisamos agora resolver o seguinte sistema

x = 0         y = 0

E

x = 3,47     y = 120

Substituindo a primeira equação teremos que

0 = a . 0 + b

Logo

b = 0

Já com o valor de b vamos substituir o próximo valor que será

120 = a . 3,47 + 0

Logo

a = 34,6

Jogo a nossa equação da reta será

y = 34,6 x  

Como o nosso objetivo era determinar a equação da carga distribuída podemos definir que

w x = 34,6 x

Passo 5

Voltando na nossa figura anterior, agora podemos calcular a área do nosso triangulo

A = W = w x .   x 2 = 34,6 x   .   x 2 = 17,3 x 2

Substituindo a nossa carga distribuída pela concentrada podemos visualizar o nosso desenho como

Agora sim podemos fazer o equilíbrio de forças e determinar o valor do nosso normal

Fazendo

∑ F = 0

Teremos que

N x + W x - 136 = 0

Como já determinamos a nossa carga concentrada teremos que

N x + 17,3 x 2 - 136 = 0

N x = - 17,3 x 2 + 136

Uma forma de saber se fizemos o cálculo certo é calcular o normal na base da nossa peça e comparar com a área do triangulo grande, fazendo primeiro a área teremos que

W = A = 120 .   3,47 2 = 208,2   K N

Como tem uma carga de 136 concentrada, também precisamos contabilizar ela para o cálculo do nosso normal na base, logo teremos que

N = 208,2 - 136 = 72,2   K N

Usando a fórmula do nosso normal com x=3,47 teremos que

N x = - 17,3 3,47 2 + 136 = - 72,2 K N

Lembrando que o sinal do normal é negativo pois indica compressão. Como em módulo os valores são iguais, então podemos ficar tranquilos que de fato a nossa fórmula está correta. Logo a equação do normal é

N x = - 17,3 x 2 + 136

Passo 6

Como já temos a equação do normal, podemos substituir todos os valores da nossa integral e em fim calcular a deformação total da nossa peça, substituindo teremos que

δ = ∫ 0 3,47 - 17,3 x 2 + 136 40000   .   0,1521 d x

δ = ∫ 0 3,47 - 17,3 x 2 + 136 6084 d x

δ = ∫ 0 3,47 - 17,3 x 2 6084 + 136 6084 d x

Resolvendo teremos que

δ = - 17,3 x 3 3   .   6084 + 136 x 6084

Substituindo teremos que

δ = - 17,3 ( 3,47 ) 3 3   .   6084 + 136 ( 3,47 ) 6084 = 0,038 m = 38   m m

Resposta

δ = 38   m m