Exercícios Resolvidos de Cônicas

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Enunciado

Caracterize a cônica representada por cada uma das equações abaixo e faça seu gráfico:

a) x 2 - 4 x - 12 y = 32

b) 289 x 2 - 17183 = 2 256 y - 289 x - 32 y 2

Passo 1

  1. Bom, primeiramente vamos observar quantos termos elevados ao quadrado aparecem na equação e quais os seus respectivos sinais. A equação é:
  2. x 2 - 4 x - 12 y = 32

    Perceba que apenas a variável x está elevada ao quadrado. Desconfiamos de um parábola.

    Passo 2

    Arrumando a equação temos:

    12 y + 3 2 = x 2 - 4 x

    Vamos coloca-la na forma geral da parábola:

    4 p y - y 0 = x - x 0 2

    Ajeitando os quadrados fica:

    12 y + 32 = x - 2 2 - 4

    12 y + 36 = x - 2 2

    4 . 3 y + 3 = x - 2 2

    p = 3

    Que é exatamente a equação da parábola com vértice em V = ( 2 , - 3 ) e foco F = 2 , - 3 + 3 = ( 2 , 0 )

    Passo 3

    Para fazer seu esboço primeiro perceba que a variável elevada ao quadrado é x . Marque o vértice   V = ( 2 , - 3 ) . Fica:

    Passo 4

  3. Vamos observar quantos termos elevados ao quadrado aparecem na equação e quais os seus respectivos sinais. A equação é:

289 x 2 - 17183 = 2 256 y - 289 x - 32 y 2

Que é o mesmo que:

289 x 2 + 578 x + 64 y 2 - 512 y - 17183 = 0

Temos dois termos elevados ao quadrado de mesmo sinal. Desconfiamos de uma elipse ou circunferência.

Passo 2

Vamos coloca-la na forma:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Completando os quadrados temos:

289 x 2 + 578 x = 289 x 2 + 2 x = 289 x + 1 2 - 1 = 289 x + 1 2 - 289  

Completando os quadrados de y temos:

64 y 2 - 512 y = 64 y 2 - 8 y = 64 y - 4 2 - 16 = 64 y - 4 2 - 1024

Passo 3

Substituindo na equação temos:

289 x 2 + 578 x + 64 y 2 - 512 y - 17183 = 0

289 x + 1 2 - 289 + 64 y - 4 2 - 1024 - 17183 = 0

289 x + 1 2 + 64 y - 4 2 = 18496

Ajeitando:

x + 1 2 64 + y - 4 2 289 = 1

Que é a equação da elipse com centro em ( - 1,4 ) e semieixos a = 8 e b = 17

Passo 4

Para fazer o gráfico, marcamos o centro e os semieixos:

Resposta

  1. Parábola com vértice em V = ( 2 , - 3 ) e foco F = 2 , - 3 + 3 = ( 2,0 )
  2. Elipse com centro em ( - 1,4 ) e semieixos a = 8 e b = 17

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