UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - Profº Ditter Adolfo - 1ª Lista, Questão 5a
5) Encontre uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado.
(a) no plano , em torno do eixo
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema, temos uma curva no plano e queremos obter a equação da superfície que se forma ao rotacionar essa curva em torno do eixo .
Tem ideia de como fazer isso? 👀
Para determinar a equação da superfície, vamos determinar um centro genérico das circunferências formadas pela revolução da superfície em que no caso, como a revolução acontece no eixo , o centro genérico é dado por .
Na equação da curva, vamos substituir a variável que não seja a do eixo de rotação, no caso , como . Assim, determinando um ponto genérico da circunferência e um ponto qualquer que faz parte da circunferência, podemos determinar em função de e .
Bora começar! 😉
Passo 2
Ao rotacionar em torno do eixo , a curva descreverá uma circunferência em torno do ponto .
Atribuindo um ponto qualquer dessa circunferência e um ponto que pertence à equação, vamos obter que a distância de para o centro é igual a distância de para que é igual ao raio, ou seja
Igualando as duas equações, temos
Substituindo na equação, temos
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
