Exercícios Resolvidos de Cônicas

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Enunciado

5) Encontre uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado.

(a) z = 4 + y 2 no plano y z , em torno do eixo z

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, temos uma curva no plano y z e queremos obter a equação da superfície que se forma ao rotacionar essa curva em torno do eixo z .

Tem ideia de como fazer isso? 👀

Para determinar a equação da superfície, vamos determinar um centro genérico C das circunferências formadas pela revolução da superfície em que no caso, como a revolução acontece no eixo z , o centro genérico é dado por C 0,0 , z .

Na equação da curva, vamos substituir a variável que não seja a do eixo de rotação, no caso y , como y 1 . Assim, determinando um ponto genérico da circunferência Q 0 , y 1 , z e um ponto qualquer P que faz parte da circunferência, podemos determinar y 1 em função de x e y .

Bora começar! 😉

Passo 2

Ao rotacionar em torno do eixo z , a curva descreverá uma circunferência em torno do ponto C 0,0 , z .

Atribuindo um ponto P x , y , z qualquer dessa circunferência e um ponto Q 0 , y 1 , z que pertence à equação, vamos obter que a distância de P para o centro C é igual a distância de Q para C que é igual ao raio, ou seja

P C - = x - 0 2 + y - 0 2 + z - z 2

Q C - = 0 - 0 2 + y 1 - 0 2 + z - z 2

Igualando as duas equações, temos

x - 0 2 + y - 0 2 + z - z 2 = 0 - 0 2 + y 1 - 0 2 + z - z 2

x - 0 2 + y - 0 2 + z - z 2 = 0 - 0 2 + y 1 - 0 2 + z - z 2

x 2 + y 2 = y 1 2

Substituindo y 1 2 na equação, temos

z = 4 + y 1 2

z = 4 + x 2 + y 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

z = 4 + x 2 + y 2

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