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Exercícios Resolvidos de Degrau e Tunelamento

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Exercício 1234567

Enunciado

Considere uma barreira de energia potencial como a da Fig.38-15 cuja altura U b é 6,0   e V e cuja largura L é 0,70   n m .

Qual é a energia de elétrons incidentes para os quais o coeficiente de transmissão é 0,0010 ?

Dado:

Massa do elétron m e = 9,109 ∙ 10 - 31 K g

Passo 1

Primeiro vamos montar o problema.

O coeficiente de transmissão é dado por:

T = e - 2 b L

Onde

b = 8 π 2 m U b - E h 2

Queremos achar a energia E dos elétrons.

Aplicando logaritmo neperiano:

ln ⁡ T = - 2 b L

b = - ln ⁡ T 2 L

Agora abrindo o termo à esquerda:

8 π 2 m U b - E h 2 = - ln ⁡ T 2 L

8 π 2 m ( U b - E ) h 2 = ln 2 ⁡ T 4 L 2

U b - E = ln 2 ⁡ T ∙ h 2 32 π 2 m L 2

E = U b - h 2 ∙ ln 2 ⁡ T 32 π 2 m L 2

O que fizemos em toda essa sopa de letrinhas foi pegar as equações para a transmissão e explicitar a energia do elétron. Agora, nós só precisamos substituir os valores de cada letra.

Passo 2

Temos:

  • h = 6,626 ∙ 10 - 34   J ∙ s
  • T = 0,001 → ln ⁡ T = - 3 ∙ ln ⁡ 10
  • m e = 9,109 ∙ 10 - 31 K g
  • L = 0,70   n m = 0,7 ∙ 10 - 9   m
  • U b = 6,0   e V = 9,612 ∙ 10 - 19   J

Substituindo os valores da sopa de letrinhas:

E = 9,612 ∙ 10 - 19 - 6,626 ∙ 10 - 34 2 ∙ ( 9 ∙ ln 2 ⁡ 10 ) 32 π 2 ∙ 9,109 ∙ 10 - 31 ∙ 0,7 ∙ 10 - 9 2

E = 9,612 ∙ 10 - 19 - 1,486 ∙ 10 - 19 = 8,126 ∙ 10 - 19   J = 5,072   e V

Resposta

E = 8,126 ∙ 10 - 19   J = 5,072   e V

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