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Exercícios Resolvidos de Degrau e Tunelamento

Ver Teoria
Exercício 3124567

Enunciado

  1. Um feixe de prótons de 5,0   e V incide em uma barreira de energia potencial de 6,0   e V de altura e 0,70   n m de largura, a uma taxa correspondente a uma corrente de 1000   A .

    2. Quanto tempo é preciso esperar (em média) para que um próton atravesse a barreira?

  2. Quanto tempo é preciso esperar se o feixe contém elétrons em vez de prótons?

Dado:

Massa do elétron m e = 9,109 ∙ 10 - 31 K g

Massa do próton m p = 1,673 ∙ 10 - 27 K g

Passo 1

Letra a)

Primeiro vamos calcular quantos fótons em média incidem na barreira até um finalmente atravessá-la.

O coeficiente de transmissão da barreira é:

T ≅ e - 2 b L

Onde

b = 8 π 2 m U b - E h 2

Para calcular b :

  • U b - E = 6,0 - 5,0 = 1,0   e V = 1,602 ∙ 10 - 19   J
  • m p = 1,673 ∙ 10 - 27 K g
  • h = 6,626 ∙ 10 - 34   J ∙ s

b = 8 π 2 ∙ 1,673 ∙ 10 - 27 ∙ 1,602 ∙ 10 - 19 6,626 ∙ 10 - 34 2 ≅ 4,819981 ∙ 10 22 ≅ 2,195 ∙ 10 11   m - 1

O que nos dá com L = 0,70   n m = 0,7 ∙ 10 - 9   m :

2 b L = 2 ∙ 2,195 ∙ 10 11 ∙ 0,7 ∙ 10 - 9 = 3,0736 ∙ 10 2 = 307,36

O coeficiente de transmissão fica:

T ≅ e - 2 b L ≅ 3,2 68 ∙ 10 - 134

Ou seja, a cada 10 134 prótons, 3,275 em média atravessam a barreira.

Passo 2

A taxa de prótons incidente corresponde a uma que seja tal que criaria uma corrente de 1000   A .

Como 1 próton tem uma carga de e = 1,602 ∙ 10 - 19   C , para gerar uma corrente de 1000   A = 1000   C / s são necessários:

N = 1000 1,602 ∙ 10 - 19 = 6,2422 ∙ 10 21   p r ó t o n s / s

Essa é a taxa de prótons que incidem na barreira. A taxa de prótons que atravessa a barreira será:

N ∙ T ≅ 6,2422 ∙ 10 21 ∙ 3,2 68 ∙ 10 - 134 = 2,04 ∙ 10 - 112   p r ó t o n s / s

Seja t o tempo que é necessário esperar, em média, para que 1 próton atravesse a barreira. Neste caso, temos:

N ∙ T ∙ t = 1

t = 1 N ∙ T = 1 2,04 ∙ 10 - 112 = 4,9 ∙ 10 111   s e g u n d o s ≅ 10 104   a n o s

Passo 3

Letra b)

Se o feixe contém elétrons invés de prótons, teremos:

m e = 9,109 ∙ 10 - 31 K g

b = 8 π 2 ∙ 9,109 ∙ 10 - 31 ∙ 1,602 ∙ 10 - 19 6,626 ∙ 10 - 34 2 ≅ 26,24 339898 ∙ 10 18 ≅ 5,123 ∙ 10 9   m - 1

O coeficiente de transmissão será:

T = e - 2 b L ≅ 7,678 ∙ 10 - 4

Como os elétrons possuem mesma carga que os prótons, a taxa de elétrons que incide na barreira será equivalente à de prótons. A taxa de elétrons que atravessa a barreira vai ser:

N ∙ T ≅ 4,793 ∙ 10 18   e l é t r o n s / s

E o tempo médio de espera para que 1 elétron atravesse é:

t = 1 N ∙ T = 1 4,793 ∙ 10 18 ≅ 2,086 ∙ 10 - 19   s e g u n d o s

Resposta

Letra a)

t = 4,9 ∙ 10 111   s e g u n d o s ≅ 10 104   a n o s

Letra b)

t ≅ 2,086 ∙ 10 - 19   s e g u n d o s

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