Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Básicas

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Enunciado

Determine as derivadas de todas as ordens possíveis da função polinomial:

f x = 3 x 5 - 2 x 4 + 5 x 2 + 2 x - 8

Passo 1

Opa! Tudo joia?

Pra começar, precisamos entender o que o enunciado quis nos dizer! O que nos foi passado é que vamos derivar essa função até encontrarmos zero no final. Assim teremos determinado TODAS as derivadas.

Relembrando, para fazermos a derivada de uma função polinomial, basta a gente colocar o nosso expoente para baixo multiplicando (na base) e subtrairmos 1 lá de cima no expoente (Regra do Tombo). Assim:

x n ' = n ⋅ x n - 1

Beleza? Vamos lá!

Passo 2

Vamos fazer a nossa primeira derivada, ok? A gente vai derivar cada termo usando aquela Regra do Tombo que falamos ali no passo 1. Ah, lembra que derivada de constante é zero!

f ' ( x ) = 3 x 5 - 2 x 4 + 5 x 2 + 2 x - 8 '

f ' x = 5   .   3 x 5 - 1 - 4   .   2   x 4 - 1 + 2   .   5   x 2 - 1 + 1   .   2   x 1 - 1 ⏟ x 0 = 1 + 0

Agora a gente faz as multiplicações e resolve os expoentes:

f ' x = 15 x 4 - 8 x 3 + 10 x + 2

Prontinho! Essa é a primeira derivada!

Passo 3

Vamos para a segunda derivada agora, a gente vai derivar o que a gente encontrou no passo anterior. Do mesmo jeitinho, olha só:

f " x = ( 15 x 4 - 8 x 3 + 10 x + 2 ) '

f ' ' x = 4 ⋅ 15 x 4 - 1 - 3 ⋅ 8 3 - 1 + 1 ⋅ 10 x 1 - 1 + 0

Resolvendo as continhas...

f " x = 60 x 3 - 24 x 2 + 10

Show! Essa é a segunda derivada... respira, e vamos continuar!

Passo 4

Terceira derivada e lá vamos nós, mesmo esquema! Agora a gente deriva a que achamos ali em cima:

f ' ' ' x = ( 60 x 3 - 24 x 2 + 10 ) '

f ' ' ' x = 3   .   60 x 3 - 1 - 2   .   24 x 2 - 1 + 0

f ' ' ' x = 180 x 2 - 48 x

Prontinho! Mais uma/menos uma! 😊

Passo 5

Quarta derivada, let’s go! Derivamos a que encontramos ali em cima. Aí pra gente não ficar usando um monte de aspas, vamos escrever assim f 4 x pra dizer que é a quarta derivada:

f 4 x = ( 180 x 2 - 48 x 1 ) '

f 4 x = 2   .   180   .   x 2 - 1 - 1   .   48 x 1 - 1

f 4 x = 2   .   180   .   x 1 - 1   .   48 x 0 ⏟ = 1

f 4 x = 360 x - 48

Vamos que ainda tem derivada!

Passo 6

Quinta derivada, agora...

(Estamos quase lá, se acalma haha...)

f 5 x = ( 360 x - 48 ) '

f 5 x = 1   .   360 x 1 - 1 - 0

f 5 x = 360 x 0 ⏟ = 1

f 5 x = 360

Opa! Chegamos numa constante hein...

Passo 7

Vamos ao nosso gran finale, sexta derivada! Já que a quinta deu uma constante...

f 6 x = 360 '

f 6 x = 0

E... ufaaa! Acabamos! Nossa função tem 6 derivadas então! Calculamos todas! Uhull!

😉

Resposta

f ' x = 15 x 4 - 8 x 3 + 10 x + 2

f " x = 60 x 3 - 24 x 2 + 10

f ' ' ' x = 180 x 2 - 48 x 1

f 4 x = 360 x - 48

f 5 x = 360

f 6 x = 0