Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Básicas

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Enunciado

Encontre a primeira e segunda derivada da função G r = r + r 3

Passo 1

Fala aí! Tudo joia?

Essas raízes ai podem até confundir um pouco a nossa mente no começo, mas pra gente derivar essa função, vamos usar a “Regra do Tombo”. Em cada termo daquele, o expoente vai “cair” pra frente multiplicando e vai perder uma unidade. Desse jeito aqui:

x n ' = n   x n - 1

E você dever estar se perguntando: mas que expoente, gente? Bem, quando temos uma raíz, podemos reescrevê-la em forma de potência, e esse será o nosso primeiro passo.

Passo 2

Para reescrever as raízes em forma de potências, precisamos usar essa regra aqui:

x p n =   x p n

Nossa raíz será transformada em uma potência onde o expoente é uma fração. No numerado (parte de cima da fração) vai ficar o valor que o x estiver elevado antes quando ainda estava dentro da raíz, e no numerador (parte de baixo da fração) vai ficar o índice da raíz.

Então no nosso caso, em r não aparece valor nenhum, isso porque é uma raíz quadrada, então o índice da raíz e o 2 . Além disso, o r não está elevado a número nenhum, e pra ajudar a gente, vamos colocar o 1 no expoente dele. Vai ficar assim:

r = r 1 2

r 1 2 = r 1 2

E para o r 3

r 1 3 = r 1 3

Nossa função então pode ser escrita como:

G r = r 1 2 + r 1 3

Passo 3

Agora vamos partir pra usar a Regra do Tombo! Montando vai ficar assim:

G ' r = 1 2 r 1 2 - 1 + 1 3 r 1 3 - 1

Vamos dar um pause aqui na derivada e vamos resolver essa subtração entre frações, que está nos exponentes, no próximo passo...

Passo 4

A gente tem que resolver:

1 2 - 1

A gente só pode somar ou subtrair frações se elas tiverem os denominadores iguais, lembra?

Nesse caso aqui a gente pode fazer um esqueminha bem legal que é reescrever o 1 como uma fração com o denominador que a gente precisa. Pra isso a gente vai dizer que nosso 1 pode ser escrito com:

1 = 2 2

Agora que ele tem o denominador 2 . Nossa continha fica:

1 2 - 2 2

Agora que os denominadores ficaram iguais, a gente resolve em cima, e embaixo a gente repete:

1 2 - 2 2 =   - 1 2

Na outra é a mesma coisa:

1 3 - 1

= 1 3 - 3 3 =   - 2 3

Agora já conhecemos os valores dos expoentes da nossa derivada.

Passo 5

Vamos voltar isso pra derivada agora:

G ' r = 1 2 r 1 2 - 1 + 1 3 r 1 3 - 1

G ' r = 1 2 r - 1 2 + 1 3 r - 2 3

Outro detalhe importante. Como os expoentes estão negativos, a gente vai jogar as potências pro denominador:

G ' r = 1 2 r 1 2 + 1 3 r 2 3

E agora a gente pode voltar pra forma de raiz:

G ' r = 1 2 r + 1 3 r 2 3

Prontinho! Essa é a primeira derivada😉

Passo 6

Vamos pra segunda derivada agora. É da mesma forma, só que a gente vai derivar a função G ' r = 1 2 r + 1 3 r 2 3 , beleza?

Pra facilitar um pouquinho, vamos pegar G ' ( x ) nessa forma aqui:

G ' r = 1 2 r - 1 2 + 1 3 r - 2 3

Show! Agora vamos aplicar a Regra do Tombo nela:

G ' ' r =   - 1 2 1 2 r - 1 2 - 1 + - 2 3 1 3 r - 2 3 - 1

Passo 7

Essas continhas aí a gente vai resolver da mesma maneria que fizemos ali atrás! Vai ficar assim:

G ' ' r =   - 1 4 r - 3 2 - 2 9 r - 5 3

Vamos jogar o que tá com expoente negativo pra baixo:

G ' ' r = - 1 4 r 3 2 - 2 9 r 5 3

E vamos colocar na forma de raiz:

G ' ' r = - 1 4 r 3 - 2 9 r 5 3  

E pronto! Essa é a segunda derivada 🤓

Resposta

G ' r = 1 2 r + 1 3 r 2 3

G ' ' r = - 1 4 r 3 - 2 9 r 5 3