Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Básicas

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Enunciado

Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto dado.

y = 3 x 2 - x 3 ,       1,2

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Olha só, sempre que falar de equação de reta tangente, a gente vai usar derivada!

Isso porque uma reta tem essa forma aqui:

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Onde m é a inclinação (coeficiente angular) da reta e x 0 ,   y 0 é um ponto da reta.

E esse m é justamente a o valor da derivada da função no ponto ( x 0 , y 0 ) . Sacou?

Bora ver isso na prática!

Passo 2

Como a gente precisa da derivada, vamos começar derivando a função:

y = 3 x 2 - x 3

A gente deriva com a regra do Tombo, que é assim:

x n ' = n . x n - 1

Vamos derrubar esses expoentes então!

y ' = 2 ⋅ 3 x 2 - 1 - 3 x 3 - 1

y ' = 6 x 1 - 3 x 2

y ' = 6 x - 3 x 2

Beleza! Já derivamos a função!

Passo 3

Agora a gente precisa do valor dessa derivada no ponto que nos deram, no caso:

O ponto tem sempre uma ordem específica, primeiro o valor do x e depois do valor do y .

Então o ponto 1,2 tem x = 1 e y = 2 .

Substituindo na nossa derivada o x = 1 , a gente tem:

y ' = 6 x - 3 x 2

y ' = 6 1 - 3 1 2

y ' = 6 - 3

y ' = 3

Esse aí é o coeficiente angular da reta, o nosso m !

m = 3

Passo 4

Voltando pra equação da reta tangente agora:

y - y 0 = 3 ( x - x 0 )

A gente já tem m = 3 e temos o ponto x 0 ,   y 0 = ( 1,2 ) . Só jogar ali agora e correr pro abraço!

y - 2 = 3 ( x - 1 )

O que podemos também fazer aqui é dar uma pequena arrumada. Vamos multiplicar esse 3 através da distributiva:

y - 2 = 3 x - 3

Agora vamos deixar o y sozinho jogando o - 2   para o outro lado somando:

y = 3 x - 3 + 2

y = 3 x - 1

Prontinho! Essa é a equação da reta tangente no ponto pedido😉

Resposta

y = 3 x - 1 .