Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Básicas

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Enunciado

Encontre a primeira e segunda derivada da função f x = x 4 - 3 x 3 + 16 x .

Passo 1

Olá! Tudo joinha?

Vamos derivar essa função f ( x ) , beleza? A gente tem ali um polinômio que é uma função com varias potências de x . Nesses casos a gente usa a “Regra do Tombo” ou do “peteleco”. Em cada termo daquele, o expoente vai cair pra frente do x multiplicando, e ao cair ele perde uma unidade. Desse jeito aqui:

x n ' = n   x n - 1

Tranquilo? Mãos à obra então!

Passo 2

Bom, outra coisa que é importante aqui é que quando tempos vários termos somados ou subtraídos em uma função, podemos fazer a derivada de cada um separadamente. A derivada da soma é a soma das derivadas. Então a gente pode derivar cada termo ali usando a Regra do Tombo mantendo a ordem das operações!

Vai ficar assim:

f x = x 4 - 3 x 3 + 16 x

Lembrando que as constantes continuam ali pra multiplicar nosso expoente que acabou de “cair”.

f ' x = 4 x 4 - 1 - 3.3 x 3 - 1 + 1.16 x 1 - 1

Já montamos a regra, agora é só resolver essas continhas que ficaram...

Passo 3

Resolvendo ali, ficamos com:

f ' x = 4 x 3 - 9 x 2 + 16 x 0

Aqui a gente também precisa lembrar que todo número elevado a 0 é 1, então isso é o mesmo que:

f ' x = 4 x 3 - 9 x 2 + 16.1

f ' x = 4 x 3 - 9 x 2 + 16

Prontinho! Essa é a primeira derivada 😄

Passo 4

Agora a gente vai ver a segunda derivada! Vamos fazer da mesma forma, só que agora derivando f ' x !

Detalhe importante: a derivada de uma constante é sempre zero! Como:

f ' x = 4 x 3 - 9 x 2 + 16

f ' ' x = f ' x ' = ( 4 x 3 - 9 x 2 + 16 ) '

Podemos fazer a derivada de cada termo separado novamente:

f ' ' x = 3 . 4 3 - 1 - 2.9 x 2 - 1 + 0

Resolvendo, temos:

= 12 x 2 - 18 x 1

= 12 x 2 - 18 x

E essa é a segunda derivada! Acabamos uhull!!

Resposta

f ' x = 4 x 3 - 9 x 2 + 16

f ' ' x = 12 x 2 - 18 x