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Exercícios Resolvidos de Determinantes e Transformações Lineares

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Exercício 213456789

Enunciado

Para cada k real, considere a transformação T : R 3 ⟶ R 3 dada por:

T x , y , z = k x + 2 y ,   2 x + k y + 2 z ,   2 y + k z

Calcule em função de k , o determinante de T .

Dica: escolha uma base conveniente β de R 3 e determine T β .

Passo 1

Vamos seguir a dica do enunciado! Acredito que a base mais conveniente seja a canônica, então vamos calcular T ε , sendo:

ε = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1

T 1,0 , 0 = k , 2 , 0

T 0,1 , 0 = 2 ,   k ,   2

T 0,0 , 1 = 0 ,   2 ,   k

Logo,

T ε = k 2 0 2 k 2 0 2 k

Passo 2

Agora, basta calcular o determinante dessa matriz. Lembre-se que o determinante de uma matriz representada em uma base é igual ao determinante de todas as outras em outras bases! (Indo de uma base para a mesma base).

det ⁡ T ε = k 3 - 2 k - 2 k = k 3 - 4 k

Resposta

det ⁡ T ε = k 3 - 4 k