USP, Álgebra Linear 2, P3-2018, Questão 05
05) Seja . Sabendo que é solução do sistema de equações diferenciais , pode-se afirmar corretamente que o determinante de é igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Eaí galera, tudo bom com vocês?
Nessa questão recebemos as informações na ordem diferente do natural.
Temos um sistema de equações diferenciais, cuja solução nos é dada. Também é falado que a matriz associada a esse sistema, é quadrada .
O objetivo é que determinemos o .
Beleza, mas vocês lembram de como é escrita a solução de um sistema de equações diferenciais?
Bora dar uma revisada hahaha!
As soluções de são da forma geral:
Onde são os autovalores de associados a e , respectivamente, que são autovetores de A. e são duas constantes Reais.
Massa!
Passo 2
Agora que já sabemos como se escrever a solução na forma geral, vamos analisar a solução que nos foi dada e tentar deixá-la no formato apresentado pela teoria. Assim, conseguiremos identificar e .
Muito bom! Considerando , temos que:
é um autovetor de A, associado ao autovalor .
é um autovetor de A, associado ao autovalor .
Passo 3
Agora que já identificamos os autovetores e autovalores, podemos usar que:
Onde é a matriz formada pelos autovetores em cada coluna e a matriz diagonal formada pelos autovalores de A. Logo:
Por último:
Portanto:
O determinante de será o determinante da matriz diagonal. Logo:
Resposta
Letra A: .