Seja o cubo no gerado pelos vetores da base canônica (o volume de é ). Seja a transformação linear associada a uma matriz tal que , onde é a matriz identidade . Seja a imagem de por . O volume de é:
Passo 1
Podemos interpretar o volume formado pelos vetores da coluna de uma matriz, como o determinante dessa matriz. Assim, vamos chamar a matriz que forma esse cubo de , tal que:
Ok, agora vamos achar o determinante da transformação (ou matriz ) para saber o quanto o cubo aumenta. A única informação que temos é:
E se aplicarmos o determinante dos dois lados:
Passo 2
Agora muito cuidado ao calcular esses determinantes! Sabemos que o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz original. E também que quando multiplicamos uma linha por um escalar, o determinante fica multiplicado por esse escalar. No caso a matriz é multiplicado INTEIRAMENTE por ou seja em todas as suas três linhas. Então, o determinante é multiplicado três vezes por .
Assim sabemos que a amplia vezes o volume do cubo e como o volume original era , então o volume de é .
Resposta
Letra