Seja o paralelogramo determinado por dois vetores linearmente independentes, e , e uma transformação linear de em :

1. Se , então a área de é nula.
2. Se , então

é falsa e é falsa

é verdadeira e é falsa

é falsa e é verdadeira

é verdadeira e é verdadeira

Afirmativa :

Quando aplicamos uma transformação em um paralelogramo, sua área é simplesmente multiplicada pelo módulo do ! Logo, se , a área de será de fato nula.

Afirmativa :

Repare que a matriz é simplesmente o produto da matriz que representa pela matriz com e nas colunas:

Bom, sabemos que o determinante do produto de duas matrizes é o produto dos determinantes. E sabemos que , mas não sabemos nada sobre o determinante da matriz .

Logo, não podemos afirmar nada sobre .