Exercícios Resolvidos de EDOs no SIMULINK

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Enunciado

Considere o sistema massa-mola abaixo:

A posição do bloco de massa m = 0,5   k g é representada por x , sua velocidade por v e sua aceleração por a . As equações de movimento da Física nos dizem que v = d x d t e a = d v d t = d 2 x d t 2 , onde t é o tempo.

Pela 2ª lei de Newton, temos que a aceleração do bloco é dada por:

a = d 2 x d t 2 = - k m x

Onde k é a rigidez da mola e é igual a 700   N / m .

A energia potencial E p do sistema é dada por:

E p = 1 2 k x 2

E a energia cinética E c :

E c = 1 2 m v 2

Considerando que o bloco parte do repouso, de uma posição inicial x 0 = 0,2   m , utilize o SIMULINK para:

  1. Encontrar a solução de a = d 2 x d t 2 = - k m x , para o intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 2   s ;
  2. Gerar os gráficos da energia potencial e da energia cinética.

Passo 1

Neste exercício, resolveremos uma EDO de segunda ordem, correspondendo à equação que calcula a aceleração pela 2ª lei de Newton. Substituindo m = 0,5   k g e k = 700   N / m na EDO, temos:

a = d 2 x d t 2 = x ' ' = - k m x = - 700 0,5 x = - 1400 x

Na letra a do exercício, resolveremos a EDO acima, que nos dará x , cujo gráfico iremos plotar usando um bloco “Scope”.

A partir do diagrama construído para resolver a letra a , faremos a letra b , pois o diagrama nos permitirá calcular as energias potencial e cinética do sistema. Ambas as energias também serão plotadas usando um bloco “Scope”.

Passo 2

Vamos começar a solucionar a EDO de segunda ordem. O enunciado no disse que v = d x d t e a = d v d t = d 2 x d t 2 , logo:

v = ∫ a d t

x = ∫ v d t

Com essas informações podemos construir um diagrama inicial, inserindo em um novo modelo dois blocos “Integrator” e um bloco “Scope”, da seguinte forma:

O primeiro “Integrator” receberá um sinal representando a aceleração a , fará sua integração e nos dará a velocidade v . v entrará em um segundo bloco “Integrator” para obtermos x , que é conduzido a um bloco “Scope” para plotarmos seu gráfico mais pra frente.

O enunciado diz que o bloco parte do repouso, indicando que a velocidade inicial é 0 . Por isso, não precisamos alterar o parâmetro “Initial condition” do “Integrator” que recebe a , pois o padrão do bloco “Integrator” é ter condição inicial nula.

Contudo, este não é o caso do segundo “Integrator”, que recebe o sinal de velocidade v . O enunciado diz que o bloco parte da posição x 0 = 0,2   m , por isso, temos que alterar o parâmetro “Initial condition” do “Integrator” que integra a velocidade e nos dá a posição x (destacado abaixo):

Passo 3

Com esse diagrama inicial, podemos partir para a EDO de segunda ordem a = x ' ' = - 1400 x para obtermos a aceleração a . Insira no modelo um bloco “Gain” e altere seu ganho para - 1400 :

Queremos criar o termo - 1400 x , por isso, conecte a entrada de “Gain” à seta entre “Integrator1” e “Scope”:

A saída de “Gain” será - 1400 x . E quam é igual a - 1400 x ? A aceleração a ! Por isso, conecte a saída de “Gain” à entrada do primeiro “Integrator”, que ainda está vazia:

O diagrama que nos dá a solução da letra a do exercício está pronto! Com ele, podemos obter o gráfico de x , que é a solução de a = d 2 x d t 2 = - k m x . Para isto, altere o tempo de simulação de 10 para 2 , rode o programa e clique duas vezes sobre o “Scope” para ver o gráfico:

Pronto, letra a resolvida =)

Passo 4

A letra b do exercício pede para gerarmos os gráficos das energias potencial e cinética. A energia potencial é dada por E p = 1 2 k x 2 , com k = 700   N / m . Logo, E p = 1 2 700 x 2 = 350 x 2 . Para obtermos E p a partir do diagrama construído para resolver a letra a , vamos começar obtendo x 2 . Para isto, usaremos o bloco “Product”, da biblioteca “Math Operations”, e faremos com que o sinal de x entre em suas duas entradas:

Para calcular E p , insira um bloco “Gain”, faça-o ter um ganho igual a 350 e conecte sua entrada à saída de “Product”:

A saída do bloco “Gain1” será a energia potencial E p .

Passo 5

A energia cinética é dada por E c = 1 2 m v 2 , com m = 0,5   k g . Logo, E c = 1 2 0,5 v 2 = 0,25 v 2 . Para obtermos E c a partir do diagrama construído para resolver a letra a , vamos começar obtendo v 2 . Para isto, usaremos outro bloco “Product”, que receberá o sinal de v em suas duas entradas:

Para calcular E c , insira outro bloco “Gain”, faça-o ter um ganho igual a 0,25 e conecte sua entrada à saída de “Product1”:

A saída do bloco “Gain2” será a energia cinética E c .

Vamos plotar as curvas de E p e E c no mesmo gráfico, conectando as duas saídas que dão de E p e E c a cada uma das entradas de um bloco “Mux”. A saída de “Mux” se conectará a um bloco “Scope”:

Como E p está conectado à entrada de cima de “Mux”, sua curva será amarela. Já a curva de E c será rosa, pois E c entra na entrada na de baixo de “Mux”.

Execute o programa e você terá o gráfico de ambas as energias.

Resposta

  1. A solução de a = d 2 x d t 2 = - k m x é:
  2. A curva da energia potencial é a onda amarela e a curva da energia cinética é rosa.