Exercícios Resolvidos de EDOs no SIMULINK

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Enunciado

O nível h de um tanque de área de seção transversal A , com uma válvula de saída com resistência R , é dado por:

d h ( t ) d t = 1 A f E t - h ( t ) R

Onde f E t representa a vazão de entrada.

Usando o SIMULINK, encontre h ( t ) , sabendo que inicialmente o tanque está com um nível h t = 0 = h 0 = 6   m . Considere R = 1   h / m 2 , A = 2   m 2 e que a vazão de entrada equivale a uma função degrau onde f E t = 10   m 3 / h .

Passo 1

Usaremos o SIMULINK para encontrar a solução da equação diferencial do enunciado e plotar seu gráfico. A solução é h ( t ) e corresponde ao nível de um tanque em função do tempo, em horas.

A equação diferencial dada pelo enunciado já está com a derivada isolada no lado esquerdo, facilitando o raciocínio: “a derivada é igual a o quê?”, nos ajudando a identificar onde pôr o boco “Integrator” que nos dará h ( t ) . A saída de “Integrator” será conduzida a um bloco “Scope”, que nos dará o gráfico de h ( t ) .

Passo 2

Vamos atualizar a equação diferencial com as constantes dadas no enunciado:

d h ( t ) d t = h ' = 1 2 f E t - h t 1 = 1 2 f E t - h t

Vemos que a derivada h ’ é igual a 1 2 f E t - h t , por isso, vamos começar modelando o lado direito da equação. Em novo modelo do SIMULINK, insira um bloco “Step” (representando f E t ) e um bloco “Add”. Para o bloco “Step”, mude o parâmetro “Final value” para 10 (destacado), para ele ter o valor da vazão de entrada.

No bloco “Add”, altere o parâmetro “List of signs” (destacado abaixo), para que uma das entradas de “Add” tenha um sinal negativo, para receber o h t mais pra frente. Conecte a saída de “Step” à entrada com sinal + de “Add”:

Passo 3

A saída de “Add” será a diferença f E t - h t . Para que esta diferença seja igual a h ’ , ele deve ser multiplicada por 1 2 . Por isso, vamos colocar um bloco “Gain” à direita de “Add”, fazer com que seu ganho seja igual a ½ e conectar sua entrada à saída de “Add”:

A saída de “Gain” será a derivada h ’ , por isso, vamos inserir um bloco “Integrator” à sua direita e conectá-los. Altere o parâmetro “Initial Condition” de “Integrator” para 6 :

Passo 4

A saída de “Integrator” é a solução da equação diferencial h ( t ) . Para gerarmos o seu gráfico, insira um bloco “Scope” e conecte-o a “Integrator”:

Agora que temos h ( t ) , podemos criar o termo h t da diferença f E t - h t . Para isto, vamos usar um bloco novo, o “Sqrt”, da biblioteca “Math Operations”, que calcula a raiz quadrada de um sinal.

Insira-o no modelo e conecte sua entrada à seta entre o bloco “Integrator” e “Scope”:

Dessa forma, o sinal de h ( t ) vai simultaneamente para “Scope” e para “Sqrt”. “Sqrt” vai nos dar em sua saída h t , por isso, conecte a saída de “Sqrt” à entrada negativa do bloco “Add”, para obtermos f E t - h t :

O diagrama de blocos representando a equação diferencial está pronto! Para vermos o gráfico de h ( t ) , execute o programa. Como o enunciado não especificou o tempo da simulação, faremos com que seja o padrão de 10 mesmo. Em seguida, clique duas vezes sobre “Scope” para ver o gráfico.

Resposta