Determine a solução da equação diferencial linear de 2ª ordem não-homogêneacom coeficientes lineares, tomando .
Passo 1
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver esse PVI, beleza? Para isso, aplicamos a transformada de Laplace em todo mundo.
Agora vamos lembrar de uma regra para encontrarmos a transformada do termo do meio. Lembre que:
Assim, vamos utilizar esse conceito. Veja que a derivada é na transformada!
Pronto! Vamos agora substituir na equação.
Passo 2
Substituindo na equação, temos:
Reordenando:
Então:
Vixi! Veja que caímos em outra EDO mas agora de primeira ordem. Então é melhor para resolver, né? Vamos utilizar o conceito de fator integrante para safar!
Passo 3
A nossa nova EDO é:
Multiplicando a EDO pelo fator integrante:
Integrando temos:
Isolando o que nós queremos, que é o temos:
Agora calma precisamos pensar um pouco. Veja que:
Assim, com essa condição, concluímos que . Assim, chegamos a:
Aplicando a transformada inversa: