UFPE – Cálculo 4 – 2019.2 – 2° EE – Exercício 2
Resolva o problema de valor inicial usando a transformada de Laplace
Dicas: Quanto vale ? Para achar , lembre o que é , faça com cuidado!
Passo 1
Legal, o problema pede para resolvermos o seguinte problema de valor inicial:
Para isso, devemos usar a transformada de Laplace! Para isso, aplicamos a transformada nos dois lados da equação:
Usando a linearidada da transformada, temos que
Passo 2
Bom, agora temos que calcular algumas dessas transformadas. Lembrando da definição:
Assim, para :
Fazendo a integral:
Quando , . Assim,
Esse é um resultado que você podia já ter decorado, mas quis deduzir ele passo a passo para você lembrar 😊
Passo 3
Um outro resultado que você deve lembrar é a transformada de :
Assim,
Mas você deve saber também que
Portanto,
Como pela condição inicial do problema:
Assim,
Passo 4
Por fim, temos que avaliar . Para isso, lembre-se que
Assim,
Como e , temos que
Passo 5
Nos passos anteriores achamos que:
Assim, a EDO fica:
Por uma questão de simplicidade, vamos escrever , de modo que a equação fica:
Ou ainda,
Dividindo a equação por :
Passo 6
Essa é uma EDO linear do tipo
Para resolver esse tipo de equação, você precisa achar o fator integrante:
Nesse caso,
Fazendo a integração:
Portanto,
Nós multiplicamos os dois lados da equação por esse fator:
Note que o lado esquerdo pode ser fatorado em
Se você não entender muito bem essa passagem, aconselho a dar uma olhada no resuminho de RespondeAí sobre o assunto!
Fazendo isso nesse problema específico:
Assim,
Integrando dos dois lados:
Para fazer essa integral, fazemos a substituição . Assim,
Assim, a integral fica
Portanot,
Isolando :
Passo 7
Cuidado para não se perder no problema! Lembre-se que nosso objetivo é achar sendo que . Nós achamos que
Para achar a constante , vamos usar a dica do enunciado, que fez a pergunta: Quanto vale ? Aqui você deve lembrar que
Note que o termo realmente tende a zero quando , mas o segundo termo não! Vamos fazer o limite de quando . Note que se trata de uma indeterminação do tipo . Com isso, aplicamos a regra de L’Hospital derivando em cima e em baixo:
Seguimos com a indeterminação, então aplicamos a regra novamente:
Portanto, esse termo não pode aparecer na transformada e devemos forçar . Desta forma,
Passo 8
Agora, para achar , temos que fazer a transformada inversa. Para isso, olhamos para a segunda dica do enunciado: lembre o que é !
Se você lembrar bem,
Portanto,
Com isso,
Logo,
Note que
Assim,
Portanto, satisfaz a EDO e além disso:
Vemos então que a solução do problema de valor inicial dado é