Use transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:

Deixando o isolado de um lado, temos:

Agora vamos encontrar a solução a partir da inversa.

Assim, a solução será:

Vamos resolver as duas últimas inversas e depois olhar para primeira. Temos que:

Logo:

Também conhecemos a outra, como:

Temos que:

Mas e essa transformada aqui:

Como calcular??

Bem, repare que:

Pelo produto convolução, temos:

Com:

Então, para e , temos:

Assim:

Vamos calcular essa integral então. Temos que:Logo:

A parte com , pode ser retirada da integral, pois fica como se fosse uma constante:

OK, agora as coisas melhorar para gente (não muito hahaha). Vamos usar duas propriedades do seno e cosseno aqui:

Assim:

Além disso:

Ufa! Agora é só substituir:

Para simplificar mais, como:

Temos:

Não podemos esquecer daquele 1/3 que tava multiplicando! Então:

Agora vamos escrever a solução.

Já dava até para ter esquecido o que a gente fez na EDO, mas aqui a gente te lembra, tínhamos:

Com:

Assim, substituindo:

Ufa!