Use transformadas de Laplace para resolver o seguinte problema do valor inicial

Com

Vamos fazer agora

Lembrando que

E

Vamos ter

A EDO ficou

Isolando vamos ter

Agora a gente vai ter um trabalhinho porque vamos precisar separar isso em frações parciais:

Essa forma de separar as frações parciais é ótima porque temos variáveis ( até ) e vamos montar um sistema com equações (de até ). E lembre-se, o numerador em frações parciais sempre tem que ser pelo menos um grau a menos que o denominador. Então colocando tudo no mesmo denominador temos:

Igualando os índices montamos o seguinte sistema:

Da linha , conseguimos simplificar a linha e :

Fazendo linha menos linha achamos . Substituindo todos os por temos:

Reduzimos em uma equação porque a primeira e segunda linha eram iguais. Do sistema acima, podemos fazer linha menos linha pra obter e trocando por na terceira linha, ficamos com:

E daí conseguimos pegar os valores das constantes que faltavam. Por exemplo, do ultimo sistema, linha , conseguimos obter:

E por fim da linha do último sistema:

Do resultado do passo anterior, já que:

Vamos ter:

Assim

A primeira é a transformada de deslocada em unidade.

A segunda é dada por

A terceira, a gente separa em duas:

Que são as transformadas do cosseno e seno respectivamente. Assim juntando tudo isso:

Simplificando,