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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes

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Exercício 912345678101112131415161718

Enunciado

Resolve por transformada de Laplace o seguinte PVI

x ' ' + 4 x ' + 4 x = 1 + δ 2 ( t )

onde x 0 = 0 e x ' 0 = 0 .

Passo 1

Vamos aplicar inicialmente então nossa transforma dos dois lados

L x ' ' + 4 x ' + 4 x = L 1 + L δ t = 1 s + 1 = 1 + s s

Vamos aplicar então a transformada das derivadas

s 2 X - s x 0 - s x ' 0 + 4 s X - 4 x 0 + 4 X = 1 + s s

Lembrando que   x 0 = 0 e x ' 0 = 0 .

s 2 X + 4 s X + 4 X = 1 + s s

Colocando X em evidência

X s 2 + 4 s + 4 = 1 + s s

X = 1 + s s s 2 + 4 s + 4

x = L - 1 1 + s s s 2 + 4 s + 4 = L - 1 1 + s s s + 2 2

Passo 2

Bom, já sabemos a transformada inversa que vamos precisar encontrar

L - 1 1 + s s s + 2 2

Separar isso daí por frações parciais que pode ser meio chatinho, mas nossa separação correta será

1 + s s s + 2 2 = a s + b s + 2 + c s + 2 2

a s + 2   2 + b s 2 + b 2 s + c s s s + 2 2

a s 2 + a 4 s + a 4 + b s 2 + b 2 s + c s

Separando tudo oq eu está multiplicando por s

s 2 a + b + s a 4 + b 2 + c + a 4 = 1 + s

Montando então nossos sistema

a + b = 0 4 a + 2 b + c = 1 4 a = 1 → a = 1 4

Substituindo esse valor de a na primeira equação

b = - 1 4

E por fim substituindo tudo na segunda

4 1 4 + 2 - 1 4 + c = 1

1 - 1 2 + c = 1

c = 1 2

Passo 3

Beleza!! Conseguimos então separar nossa função

1 + s s s + 2 2 = a s + b s + 2 + c s + 2 2

1 + s s s + 2 2 = 1 4 1 s - 1 4 1 s + 2 + 1 2 1 s + 2 2

Aplicando então nossa transformada inversa

x = L - 1 1 + s s s + 2 2 = L - 1 1 4 1 s - 1 4 1 s + 2 + 1 2 1 s + 2 2

= 1 4 L - 1 1 s - 1 4 L - 1 1 s + 2 + 1 2 L - 1 1 s + 2 2

x = 1 4 - 1 4 e - 2 t + 1 2 t e - 2 t

Colocando e - 2 t 4 em evidencia só pra ficar mais bonitinho

x = e - 2 t 4 e 2 t - 1 + 2 t

Resposta

x = e - 2 t 4 e 2 t - 1 + 2 t