Sistema de Equações da Diferença
Ache a solução geral do sistema em diferenças finitas onde:
Passo 1
Primeiro, olhe para equação em diferenças finitas que queremos resolver:
Fazendo , temos
Agora ,
Agora ,
E assim por diante, ficamos com:
Onde é a condição inicial.
Agora só temos que calcular e resolveremos a questão.
Passo 2
Agora, se a matriz for diagonalizável será ótimo pois vai ser muito fácil calcular .
Pois se podermos transformar numa matriz diagonal cujo elementos da sua diagonal são seus autovetores e teríamos:
Então, para saber se podemos diagonalizar uma matriz temos que achar seus autovalores e autovetores.
Então vamos lá!
Para achar os autovalores da matriz , fazemos
Onde é a matriz identidade.
Aí, ficamos com
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação do segundo grau
O discriminante da equação é:
Então
Portanto a matriz só tem um autovalor. E como consequência somente um autovetor e portanto a matriz não é diagonalizável.
E agora?? Você deve estar se perguntando. Calma!! Temos outra saída!!
Vamos calcular o polinômio de Taylor de grau 1 em torno do ponto (que é o nosso único autovalor) da função pois e daí teremos nossa resposta.
Passo 4
Bom, para calcular o polinômio de Taylor de grau 1 de uma função qualquer em torno de um ponto qualquer, temos que usar a fórmula abaixo:
Na forma matricial o polinômio acima fica
Onde é matriz identidade.
Passo 5
Vamos aplicar a expressão matricial acima para o nosso problema.
Fazemos e temos
Que é a solução do nosso problema!