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Exercícios Resolvidos de Equação de Diferença – Homogênea

Ver Teoria
Exercício 71234568910

Enunciado

Sistema de equações da Diferença

Para a afirmação abaixo classifique verdadeiro ou falso com justificativa.

O limite quando n → ∞ dos coeficientes da matriz

A n = λ c 0 λ n

É zero se e somente se a matriz é diagonal e λ < 1

Passo 1

Vamos achar A n , para isso vamos achar os autovalores A

A = λ c 0 λ

Dessa vez vamos chamar os autovalores de L 1 e L 2 , isso porque já temos um λ malandramente colocado ali para nos atrapalhar, vamos aos autovalores

λ - L c 0 λ - L = 0

λ - L λ - L - 0 ∙ c = 0

λ - L 2 = 0

λ - L = 0

L = λ

Temos uma situação onde os autovalores são iguais.

Passo 2

Como vai ficar a fórmula de A n nesse caso?

A n = L n I + n L n - 1 A - L I

Vamos ter

A n = λ n 1 0 0 1 + n λ n - 1 λ c 0 λ - λ 1 0 0 1

⇒ λ n 0 0 λ n + n λ n - 1 λ c 0 λ - λ 0 0 λ

⇒ λ n 0 0 λ n + n λ n - 1 λ - λ c - 0 0 - 0 λ - λ

⇒ λ n 0 0 λ n + n λ n - 1 0 c 0 0

⇒ λ n 0 0 λ n + 0 c n λ n - 1 0 0

⇒ λ n c n λ n - 1 0 λ n

Então vamos ter

A n = λ n c n λ n - 1 0 λ n

Passo 3

Vamos analisar o limite de cada termo, primeiro de λ n

lim n → ∞ ⁡ λ n = λ ∞

É importante entender que se λ for um número maior que 1 essa parada vai para ∞ então precisamos ter

λ < 1

Vamos ver o último termo que sobra

lim n → ∞ ⁡ c n λ n - 1 = c ∙ ∞ ∙ λ ∞

Já vimos que aquele λ ∞ vai para 0 , mas aí vamos ter uma indeterminação

lim n → ∞ ⁡ c n λ n - 1 = c ∙ ∞ ∙ 0

Vamos resolver aquela indeterminação, vamos usar L’Hôspital

lim n → ∞ ⁡ n λ n - 1 = lim n → ∞ ⁡ n λ - n - 1 = ∞ ∞

Vamos derivar usando a regra de L’Hôspital, primeiro vamos arrumar aquele limite

lim n → ∞ ⁡ n λ - n - 1 = lim n → ∞ ⁡ n λ - n + 1

lim n → ∞ ⁡ 1 - n + 1 ' λ - n + 1 ln ⁡ λ = lim n → ∞ ⁡ 1 - λ - n + 1 ln ⁡ λ = lim n → ∞ ⁡ - 1 λ - n + 1 ln ⁡ λ = - 1 ∞ = 0

Então esse limite é 0 também independente do valor de c , então a matriz pode não ser diagonal, logo a afirmação é Falsa.

Resposta

Falsa