Dado que é um ponto ordinário para a equação
Prove que a fórmula de recorrência da equação em é
para .
A partir da relação de recorrência determine a fórmula para o coeficiente geral da solução da equação.
Identifique as duas soluções por séries em torno de que são linearmente independentes.
Passo 1
Vamos assumir que é solução. Para isso, temos que verificar se ele respeita a EDO. Então, calcularemos suas derivadas:
Substituindo na EDO:
Reorganizando esses termos:
Agora, temos que manipular os índices ao máximo possível de forma a garantir que esses somatórios possuam os mesmos limites.
Vamos deixar todos com o limite inferior igual a dois. Então:
Substituindo na EDO novamente e organizando tudo dentro de um só somatório:
Passo 2
Agora comparando ambos os lados da equação, ficamos com:
E ainda:
Olha um pouquinho esse termo e vamos tentar fatorar de maneira bonitinha aquele polinômio do segundo grau:
Se olharmos pras raízes dessa coisa linda, veremos que e . Então, pode ser escrito como
Substituindo isso em :
Como queríamos demonstrar!
Passo 3
Mas se liga que ainda não acabou! Isso que acabamos de mostrar vale para , já que é de onde começa o nosso somatório lá em cima.
Será que essa relação funciona para e ? Vamos checar!
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E essas duas relações são verdade (achamos lá em cima também!), ou seja, a nossa fórmula é realmente válida para :)
Passo 4
Bora encontrar o termo geral dessa equação de recorrência? Bom, observe as relações abaixo:
Portanto, perceba que, como havíamos encontrados antes,
Passo 5
A maneira é pegar os três primeiros termos pares (já que estão definidos) e pegar os termos ímpares até três.
Resposta