Enunciado
Cálculo Numérico - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 108
O critério de estabilidade para o método explícito exige que o coeficiente do termo na equação de diferenças finitas unidimensional seja zero ou positivo. Analise a situação na qual as temperaturas nos dois nós vizinhos são , enquanto o nó central está a . Mostre que para valores de a equação de diferenças finitas preverá um valor para que viola a segunda lei da termodinâmica.
Passo 1
Nessa questão nós temos que o critério de estabilidade para o método explícito, exige que o coeficiente do termo, da equação unidimensional de diferença finita, seja zero ou positivo. Com isso precisamos encontrar para , a equação de diferenças finitas que preverá valores de que violam a segunda lei da termodinâmica.
Passo 2
Para resolver essa questão, vamos assumir que a condução é unidimensional em , as propriedades são constantes e não há geração interna de calor. A equação de diferenças finitas para um nó interior é:
O critério de estabilidade requer que o coeficiente de seja zero ou maior. Isso é,
ou
Passo 3
Para as temperaturas dadas, vamos considerar as situações para as quais,
E calcular
A distribuição para é termodinamicamente impossível: o calor está fluindo para o nó durante o período de tempo , fazendo com que sua temperatura suba. No entanto, o calor está fluindo na direção do aumento da temperatura. Isso é uma violação da Segunda lei.
Quando ou a temperatura do nó aumenta durante , mas os gradientes de temperatura para o fluxo de calor são adequados. Este vai ser o caso quando verificando o critério de estabilidade.
Resposta
A distribuição para é termodinamicamente impossível: o calor está fluindo para o nó durante o período de tempo , fazendo com que sua temperatura suba. No entanto, o calor está fluindo na direção do aumento da temperatura. Isso é uma violação da Segunda lei.