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Enunciado

Cálculo Numérico - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 108

O critério de estabilidade para o método explícito exige que o coeficiente do termo T m p na equação de diferenças finitas unidimensional seja zero ou positivo. Analise a situação na qual as temperaturas nos dois nós vizinhos (   T m p - 1   ;   T m p + 1 ) são 100 ° C , enquanto o nó central ( T m p   ) está a 50 ° C . Mostre que para valores de F o   >   ½ a equação de diferenças finitas preverá um valor para   T m p + 1 que viola a segunda lei da termodinâmica.

Passo 1

Nessa questão nós temos que o critério de estabilidade para o método explícito, exige que o coeficiente do termo, T m p , da equação unidimensional de diferença finita, seja zero ou positivo. Com isso precisamos encontrar para F o >   1 / 2 , a equação de diferenças finitas que preverá valores de   T m p + 1 que violam a segunda lei da termodinâmica.

Passo 2

Para resolver essa questão, vamos assumir que a condução é unidimensional em x , as propriedades são constantes e não há geração interna de calor. A equação de diferenças finitas para um nó interior é:

T m p + 1 = F o T m + 1 p + T m - 1 p + 1 - 2 F o T m p

O critério de estabilidade requer que o coeficiente de T m p seja zero ou maior. Isso é,

1 - 2   F o ≥ 0 ou F o ≤ 1 2

Passo 3

Para as temperaturas dadas, vamos considerar as situações para as quais,

F o   =   1 ,   ½   e   ¼

E calcular T m p + 1 :

F o = 1                         T m p + 1 = 1 100 + 100 ° C + 1 - 2 × 1 50 ° C = 250 ° C

F o = 1 / 2                         T m p + 1 = 1 / 2 100 + 100 ° C + 1 - 2 × 1 / 2 50 ° C = 10 0 ° C

F o = 1 / 4                         T m p + 1 = 1 / 4 100 + 100 ° C + 1 - 2 × 1 / 4 50 ° C = 250 ° C

A distribuição para F o   =   1 é termodinamicamente impossível: o calor está fluindo para o nó durante o período de tempo t , fazendo com que sua temperatura suba. No entanto, o calor está fluindo na direção do aumento da temperatura. Isso é uma violação da Segunda lei.

Quando F o   =   ½ ou   ¼ , a temperatura do nó aumenta durante t , mas os gradientes de temperatura para o fluxo de calor são adequados. Este vai ser o caso quando F o ≤   ½ , verificando o critério de estabilidade.

Resposta

F o = 1                         T m p + 1 = 250 ° C

F o = 1 / 2                         T m p + 1 = 100 ° C

F o = 1 / 4                         T m p + 1 = 250 ° C

A distribuição para F o   =   1 é termodinamicamente impossível: o calor está fluindo para o nó durante o período de tempo t , fazendo com que sua temperatura suba. No entanto, o calor está fluindo na direção do aumento da temperatura. Isso é uma violação da Segunda lei.

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