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Enunciado

Cálculo Numérico - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 114

Deduza uma equação de diferenças finitas explícita para um nó interior para a condução tridimensional transiente. Também determine o critério de estabilidade. Suponha propriedades constantes e espaçamento na malha igual nas três direções.

Passo 1

Bora fazer mais uma questãozitcha? Uhuul \o/. Aqui nós temos uma condução tridimensional e transitória. E com isso, queremos encontrar uma equação de diferença finita explícita para um nó interior e seu critério de estabilidade.

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir que as propriedades são constantes, o espaçamento da grade nas três direções é igual e não tem geração de calor. Nós vamos começar com a forma tridimensional da equação de calor transiente,

1 α ∂ T ∂ t = ∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 + ∂ 2 T ∂ z 2

A aproximação das diferenças finitas à derivada do tempo é dada por:

∂ T ∂ t m . n , q = T m , n , q p + 1 - T m , n , q p Δ t

As derivadas espaciais para as direções x e y são dadas, com um subscrito extra q . Por analogia, a derivada da direção z é aproximada como:

∂ 2 T ∂ z 2 m . n , q ≈ T m , n , q + 1 - T m , n , q - 1 - 2 T m , n , q Δ z 2  

Passo 3

A avaliação das derivadas espaciais na etapa de tempo p para o método explícito, assumindo que ∆ x   =   ∆ y   =   ∆ z , produz:

1 α T m , n , q p + 1 - T m , n , q p Δ t = T m + 1 , n , q + T m - 1 , n , q - 2 T m , n , q Δ x 2   +

+ T m , n + 1 , q + T m , n - 1 , q - 2 T m , n , q Δ x 2   + T m , n , q + 1 + T m , n , q - 1 - 2 T m , n , q Δ x 2  

A resolução da temperatura nodal no passo p   +   1 resulta em:

T m , n , q p + 1 = F o ( T m + 1 , n , q p + T m - 1 , n , q p + T m , n + 1 , q p + T m , n - 1 , q p + T m , n , q + 1 p + T m , n , q - 1 p +

( 1 - 6 F o ) T m , n , q p

Onde,

F o = α t x 2

O critério de estabilidade é determinado pelo requisito de que o coeficiente de T m , n , q p ≥   0 . Assim,

F o   ≤   1 / 6

Resposta

T m , n , q p + 1 = F o ( T m + 1 , n , q p + T m - 1 , n , q p + T m , n + 1 , q p + T m , n - 1 , q p + T m , n , q + 1 p + T m , n , q - 1 p +

( 1 - 6 F o ) T m , n , q p

Critério de estabilidade:

F o   ≤   1 / 6

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