11.20P Três esferas, cada uma com massa , estão dispostas nos vértices de um triângulo equilátero de lado . A) Mostre que a força gravitacional sobre cada esfera dirige-se para o centro do triângulo e calcule a intensidade de tal força. B) Mostre que em um movimento sincronizado das esferas, elas podem orbitar em torno do centro de massa comum, que é o centro do triângulo, e calcule a velocidade angular do sistema.

Iradoso, e agora pra gente calcular a intensidade dessa força, podemos ser malandrinhos mais uma vez e fingir que existe um eixo exatamente onde está a massa que estamos trabalhando:

Sendo assim, podemos decompor aquela força que não está no eixo, lembrando que como se trata de um triângulo equilátero, o ângulo entre os lados é de , tal que:

E como essa força, é a força gravitacional entre as partículas de massa distantes pelo lado do triângulo de tamanho , teremos que:

Tal que a força é:

Logo a soma das forças é:

Portanto a força resultante será:

Show de bolinhas, então a intensidade dessa força, vai ser o módulo dela, e se a gente calcular ela, vamos obter que:

Portanto, a intensidade da força é:

Agora, como o sistema está em movimento circular, em torno do centro do triângulo, temos que a força gravitacional resultante, que aponta para o centro, é exatamente igual a força centrípeta devido a rotação:

E essa força centrípeta é dada pelo produto da massa pela aceleração centrípeta:

Onde essa aceleração centrípeta é dada pela expressão:

Em que é a velocidade linear que podemos relacionar com a velocidade angular através da expressão:

Enquanto é distância da massa até o centro do triângulo:

Tal que:

Logo:

Portanto a aceleração centrípeta é:

E a força centrípeta:

Então se a gente igualar as força, vamos obter que:

E isolando a velocidade angular:

Logo: