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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 65

12.65. Uma espaçonave sem tripulação descreve uma órbita circular em torno da Lua, observando a superfície da Lua de uma altura de 50,0 km (ver Apêndice F). Para surpresa dos cientistas na Terra, devido a uma falha elétrica um dos motores da espaçonave deixa de funcionar, fazendo sua velocidade diminuir 20,0 m/s. Caso nada seja feito para corrigir sua órbita, com que velocidade (em km/h) a espaçonave atingiria a superfície da Lua?

Passo 1

A espaçonave está numa órbita circular, então

F g = F C

Ou

G M m r 2 = m v 2 r

Assim a gente pode descobrir a velocidade com que ele está orbitando

v 2 = G M r

Agora é só passar a raiz

v = G M r

Agora chegou o momento de olha no Apêndice F. A distância na equação será a distância da espaçonave até o centro da Lua

v = 6,6742 ⋅ 10 - 11 ⋅ 7,35 ⋅ 10 22 1,74 ⋅ 10 6 + 50000

Fazendo essa continha temos

v = 1655,45 m s

Passo 2

A velocidade vai reduzir, e quando isso acontecer a órbita não será mais circular, mas sim elíptica, e o raio se torna agora o apogeu do movimento. Agora o que precisamos saber é se o perigeu é menor do que o raio da Lua. Para calcular o perigeu pudemos usar

a = 1 2 r a + r p

Para isso a gente precisa encontrar o semieixo maior, podemos fazer isso através da energia.

A velocidade diminuiu em 20 m s , então a nova velocidade é 1655,45 - 20 = 1635,45 m s

Agora que temos a velocidade da espaçonave, vamos calcular a energia da nave

E = K + U

A gente pode calcular a energia de outro modo também

E = - G M 2 a

Então

- G M 2 a = K + U

Ou

- G M m 2 a = m v 2 2 - G M m r

A gente pode isolar o semieixo maior

- G M = v 2 2 - G M r 2 a

Então

- G M 2 v 2 2 - G M r = a

Agora é só substituir os valores

a = - 6,6742 ⋅ 10 - 11 ⋅ 7,35 ⋅ 10 22 2 1635,45 2 2 - 6,6742 ⋅ 10 - 11 ⋅ 7,35 ⋅ 10 22 1,74 ⋅ 10 6 + 50000

Fazendo essa continha temos

a = 1,748 ⋅ 10 6   m

Agora que temos o semieixo maior, podemos calcular o perigeu

a = 1 2 r a + r p

Vamos isolar

r p = 2 a - r a

Substituindo os valores

r p = 2 ⋅ 1,748 ⋅ 10 6 - 1,74 ⋅ 10 6 + 50000

Isso vai dar

r p = 1,706 ⋅ 10 6   m

Então o perigeu é menor que o raio da Lua, em algum momento a espaçonave vai bater na superfície.

Passo 3

A gente pode calcular a velocidade agora através da conservação da energia

E i = E f

E i = K f + U f

Então

- G M m 2 a = - G M m r f + m v f 2 2

Agora é só isolar a velocidade

v f 2 2 = G M - 1 r f + 1 2 a

v f = 2 G M - 1 r f + 1 2 a

Agora é só substituir os valores

v f = 2 ⋅ 6,6742 ⋅ 10 - 11 ⋅ 7,35 ⋅ 10 22 ⋅ - 1 1,74 ⋅ 10 6 + 1 2 1,748 ⋅ 10 6

Fazendo essa continha

v f = 1,682 ⋅ 10 3 m s

Mas o exercício pede em k m h . Vamos converter

v f = 1,682 ⋅ 10 3 ⋅ 3,6 = 6057 k m h

Resposta

v = 6057 k m h

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