A polia cilíndriva, maciça e homogênea possui uma massa m 1 e um raio r . Se a peça em B é submetida ao deslocamento harmônico indicado, determine a equação de movimento do sistema em termos da variável x . O cabo que liga a massa m 2 à mola superior não desliza sobre a polia.

Passo 1

Vamos começar olhando para o momento resultante que age na polia, em relação ao seu centro em O :

∑ M O = T - k 1 x - x B r

E o momento de inércia da polia em relação ao seu centro é:

I O = 1 2 m 1 r 2

Então:

∑ M O = T - k 1 x - x B r = 1 2 m 1 r 2 θ ¨

T - k 1 x - x B = 1 2 m 1 r θ ¨

E também podemos aplicar a segunda lei de Newton sobre a massa m 2 na vertical:

∑ F y = m 2 a y

- T - k 2 x = m 2 x ¨

E o sinal negativo aparece porque ambas as forças favorecem o retorno ao ponto de equilíbrio quando x aumenta. (Obs.: pelo desenho, x aumenta quando a massa m 2 desce).

Passo 2

Então ficamos com duas equações:

- T - k 2 x = m 2 x ¨ T - k 1 x - x B = 1 2 m 1 r θ ¨

Vamos somar as duas para eliminar T :

- k 2 x - k 1 x - x B = m 2 x ¨ + 1 2 m 1 r θ ¨

E podemos substituir x = r θ , e consequentemente x ¨ = r θ ¨ :

- k 2 x - k 1 x - x B = m 2 x ¨ + 1 2 m 1 x ¨

Então:

1 2 m 1 + m 2 x ¨ + k 1 + k 2 x = k 1 x B

Mas segundo o desenho do enunciado x B = b cos ⁡ ω t , então:

1 2 m 1 + m 2 x ¨ + k 1 + k 2 x = k 1 b cos ⁡ ω t

E essa é a equação que foi pedida.

Resposta

A equação do movimento é 1 2 m 1 + m 2 x ¨ + k 1 + k 2 x = k 1 b cos ⁡ ω t .

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