Enunciado
Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.3 - Ex. 65
A peça anexa recebe um movimento horizontal . Desenvolva a equação do movimento para a massa e determine a frequência crítica para a qual as oscilações da massa tornam-se excessivamente grandes.
Passo 1
Dados da questão:
- Massa: .
- Rigidez das molas: e
- Coeficiente de amortecimento: .
- Movimento da extremidade direita da mola : .
Queremos uma equação que defina o movimento da massa com todos esses elementos interagindo. Vai ser bem tranquilo! Primeiro passo vai ser identificar quem são as forças atuando na massa, e aí vamos identificar cada força.
Depois a gente vai procurar a frequência que faz as oscilações serem extremamente grandes!
Passo 2
Escolha uma posição de referência e aí tome um deslocamento qualquer. A partir disso a gente desenha o diagrama de corpo livre.
Beleza! Quando a massa vai para a direita, as duas molas e o amortecedor vão gerar forças para esquerda, porque eles resistem ao movimento.
Agora a gente escreve a equação da dinâmica para a massa :
A aceleração vai ser a segunda derivada do deslocamento no tempo: . Coloque as forças externas na equação. Atenção ao sinal! Elas estão em sentido oposto ao deslocamento .
Vamos ver quem é cada uma dessas forças, e ir conferindo se a direção das forças no diagrama de corpo livre está certa!
Passo 3
Para a força devida ao amortecedor, ela será linear à velocidade do pistão dentro dele.
A velocidade da massa é , e se o corpo está indo para direita, então também aponta para direita! Como a extremidade esquerda do amortecedor está fixa, o pistão vai ter a mesma velocidade !
A velocidade é para direita, então a força que resiste isso tem que ir para esquerda! Beleza, isso confere com o Passo !
Passo 4
Vejamos a mola com rigidez . A mola resiste à deflexão dela! Isso significa que se uma extremidade da mola se afastar da outra, a mola vai puxar ela de volta pro comprimento natural. Essa resistência é a força que a mola gera, linear à variação de comprimento!
A extremidade esquerda da mola de rigidez está fixa. A massa vai para direita um comprimento . A extremidade direita dessa mola vai se mover para direita!
Como a mola é estendida para direita um comprimento , a força que resiste isso vai para esquerda! Show, mais uma vez, Passo está correto.
Passo 5
Aqui vem a parte mais importante! A mola de rigidez vai mover a extremidade esquerda dela um comprimento para direita. Mas a extremidade direita dessa mola vai também mover para direita segundo .
Lembre-se que falamos que a mola gera uma força para resistir que uma extremidade se movimento em relação a outra! Então não importa se a mola anda como um todo, o que importa é o quanto uma extremidade moveu em relação a outra!
A deflexão dessa mola é
Esse é o quanto a mola deformou para direita! Então ela resiste com uma força para esquerda! Essa força vai ser
Ótimo! Queríamos uma força para esquerda mesmo (Passo ). Fique atento que se você pensar na outra direção, muda tudo!
Agora é só botar de volta na equação principal e mexer umas coisinhas.
Passo 6
Vamos colocar a expressão , e além disso vamos agrupar os termos em relação a e suas derivadas.
Show, achamos a equação!
Passo 7
Pra fechar, queremos saber qual a frequência crítica que deve assumir para causar grandes oscilações. Essa frequência é a que gera ressonância!
Ressonância acontece quando a frequência do forçamento se aproxima da frequência natural do sistema.
Resta descobrirmos quem é para esse sistema então. Isso é bem fácil!
Apesar da equação do Passo ser ligeiramente diferente da equação que você está acostumado, você pode imaginar que na verdade o que temos ali é uma rigidez equivalente e um forçamento harmônico em que a amplitude é .
Relembre a equação habitual
Para fazemos nossa equação ficar nessa forma, só precisamos dividir por !
Comparando,
Resposta
Equação do movimento:
Frequência de ressonância: