A amplitude de um oscilador diminui para 36,8 % de seu valor inicial em 10,0   s . Qual é o valor da constante de tempo?

Passo 1

A equação da onda de uma onda subamortecida tem uma forma de:

x t = A e -   b t 2 m cos ⁡ ω t + ϕ 0

Onde a amplitude da onda pode ser interpretada como:

A t = A e -   b t 2 m

Pois A é o valor de A ( t ) no tempo t = 0 , então é a amplitude inicial e o termo cos ⁡ ω t + ϕ 0 nos diz mais respeito em relação a frequência dessa onda, ela não altera a amplitude da onda.

Passo 2

Então se temos 36.8 % da amplitude em t = 10   s então:

0.368 A = A e -   10 b 2 m

Onde a constante de tempo desse sistema amortecido é dado por:

τ = m b

Logo:

0.368 = e -   5 τ

Aplicando l n nos dois lados teremos:

ln ⁡ 0.368 = - 5 τ

τ = - 5 ln ⁡ 0.368 = 5   s

Resposta

5   s

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