Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Exercício - Ex. 53
53.Dois pêndulos possuem as mesmas dimensões (comprimento ) e massa total . O pêndulo é uma esfera bem pequena oscilando na extremidade de uma barra uniforma de massa desprezível. No pêndulo , metade da massa pertence à bola e a outra metade à barra uniforme. Encontre o período de cada pêndulo para oscilações pequenas. Qual dos dois pêndulos leva mais tempo para completar uma oscilação?
Passo 1
Para achar o que o enunciado quer, temos que usara fórmula do período, que é o tempo de uma oscilação.
O pêndulo , pelas especificações do enunciado, ele é um pêndulo simples e o pêndulo é um pêndulo físico, já que a barra tem massa.
Então para o temos a seguinte fórmula do período:
E para o , temos:
Para o pêndulo não temos muito o que encontrar, mas para o pêndulo , já temos saber o valor de e .
Pela distribuição de massa, mencionada pelo enunciado, do pêndulo , temos que .
O momento de inércia vai ser a soma do momento de inércia da barra com o eixo em uma extremidade e da bola, então:
O momento de inércia de uma barra é dado por:
E da bola, que nada mais é que uma esfera, é dado por:
Mas lembrando que a massa da barra e da bola é .
Então:
Passo 2
Vamos agora substituir o que encontramos na fórmula do período do pêndulo .
Passo 3
Se você reparar a primeira parte da fórmula do período do pêndulo é igual a do pêndulo . Então podemos escrever o seguinte:
Então como o período de é igual ao de vezes um número menor que um, logo:
Resposta
O pêndulo leva mais tempo.